向量乘法与其几何意义

一、点乘（内积）

有向量 $\vec a=(x_1,y_1)，\vec b=(x_2,y_2)$a=(x1​,y1​)，b=(x2​,y2​)，夹角为 $\theta$θ，内积为：
$\vec a \cdot \vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta=x_1x_2 + y_1y_2$a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ=x1​x2​+y1​y2​

几何意义：

1. 夹角，由 $\vec a \cdot \vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta$a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ 知，当内积 $>0$>0，$\theta<90^\circ$θ<90∘，内积 $<0$<0，$\theta>90^\circ$θ>90∘，内积 $=0$=0，$\theta=90^\circ$θ=90∘。同时也可以计算 $\theta$θ 的值：$\theta=arccos\frac {\vec a \cdot \vec b}{|\vec a||\vec b|}$θ=arccos∣a∣∣b∣a⋅b​
2. 投影，$|\vec a|\cos\theta=\frac {\vec a \cdot \vec b}{|\vec b|}$∣a∣cosθ=∣b∣a⋅b​ 表示 $\vec a$a 在 $\vec b$b 上的投影。
   对偶性：$\vec a \cdot \vec b=|\vec a|(|\vec b|\cos\theta)=|\vec b|(|\vec a|\cos\theta)$a⋅b=∣a∣(∣b∣cosθ)=∣b∣(∣a∣cosθ)
   $|\vec a|(|\vec b|\cos\theta)$∣a∣(∣b∣cosθ) 的理解是 $\vec a$a 的长度与 $\vec b$b 在 $\vec a$a 上的投影的乘积；
   $|\vec b|(|\vec a|\cos\theta)$∣b∣(∣a∣cosθ) 的理解是 $\vec b$b 的长度与 $\vec a$a 在 $\vec b$b 上的投影的乘积；
   而这两个是相等的。

二、叉乘（外积）

上面的公式，就是求三阶行列式。

几何意义：

1. 上面如果不把 $\vec i,\vec j,\vec k$i,j​,k 的具体指带入公式，而是写成 $\vec a \times \vec b=m\vec i+n\vec j+l\vec k$a×b=mi+nj​+lk 的形式，向量 $(m,n,l)$(m,n,l) 就是一个同时垂直 $\vec a$a 和 $\vec b$b 的向量，如下图：
   
2. 对于二维向量，$\vec a=(x_1,y_1)，\vec b=(x_2,y_2)$a=(x1​,y1​)，b=(x2​,y2​)，按照上面的公式得：
   $\vec a \times \vec b=\begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ \end{vmatrix}=x_1y_2-x_2y_1$a×b=∣∣∣∣​x1​x2​​y1​y2​​∣∣∣∣​=x1​y2​−x2​y1​，设这个数值为 $m$m。
   则，$|m|=|a×b|=|a| |b|\sin\theta$∣m∣=∣a×b∣=∣a∣∣b∣sinθ （$\theta$θ为 $\vec a$a 和 $\vec b$b 的夹角）
   且，|m| = $\vec a$a 和 $\vec b$b构成的平行四边形的面积 ，如下图：
   
3. 判断向量的相对位置（顺逆时针）
   $\vec a$a 和 $\vec b$b 如图所示：

如果让 $\vec a$a 以最小角度转到 $\vec b$b 的方向，是顺时针还是逆时针呢，从图中很容易看出，但怎么用数字判断呢？
仍然是 $m=\vec a \times \vec b=x_1y_2-x_2y_1$m=a×b=x1​y2​−x2​y1​，
当 $m>0$m>0，$\vec a$a 逆时针转到 $\vec b$b 的角度 $<180^\circ$<180∘，
当 $m<0$m<0，$\vec a$a 逆时针转到 $\vec b$b 的角度 $>180^\circ$>180∘，
当 $m=0$m=0，$\vec a$a 和 $\vec b$b 共线。

直观记忆如下图：

$m>0$m>0，$\vec b$b 在蓝色部分；
$m<0$m<0，$\vec b$b 在红色部分；
$m=0$m=0，$\vec b$b 在分界线上（与 $\vec a$a 共线 ）。

三、扩展（坐标系引发的顺逆指针分不清事件）

我们平时默认的坐标系是这样的：

但有时候的坐标系是这样的（比如数字图像中）：

可以发现，同样的 $\vec a=(2,1)$a=(2,1) 转到 $\vec b=(1,2)$b=(1,2) ，在上面的坐标系中就是逆时针，而在下面的坐标系中就是顺时针，所以为了统一说明，定义了 “正旋转” ：从 $x$x 轴旋转到 $y$y 轴的方向。
所以，上面利用向量叉乘判断向量相对位置的性质描述应该为：
当 $m>0$m>0，$\vec a$a 正旋转到 $\vec b$b 的角度 $<180^\circ$<180∘，
当 $m<0$m<0，$\vec a$a 正旋转到 $\vec b$b 的角度 $>180^\circ$>180∘，
当 $m=0$m=0，$\vec a$a 和 $\vec b$b 共线。
而那张直观记忆图只在我们平时默认的坐标系中才成立。