【生存分析】参数模型 - 加速失效（AFT）模型

加速失效（AFT）模型

假设 $T$T 为失效时间，$x$x 为协变量，加速失效（accelerate failure time）模型的假设是，一个人的生存时间等于人群基准生存时间 * 这个人的加速因子，其数学形式如下：
$T=t * e^{\theta \cdot x},\ t=e^{\mu + \sigma*W}$T=t∗eθ⋅x, t=eμ+σ∗W
常见形式还包括：
$S(t|x)=S_0(t*e^{\theta \cdot x})$S(t∣x)=S0​(t∗eθ⋅x)
$Y=log(T)=\mu + \gamma \cdot x + \sigma * W$Y=log(T)=μ+γ⋅x+σ∗W

其中人群的基准生存时间$t$t服从某个概率分布，$W$W也是服从某个概率分布的随机变量。常见分布如下：

$t$t	$W$W
Weibull	极值分布
log-normal	正态
log-logistic	Logistic

从上面的数学形式可以看出，某个人的生存时间受基准生存时间和加速因子的影响的，而基准生存时间为研究中所有人共有，加速因子则与该人与研究目标相关的协变量相关。

所以，很显然，该模型需要估计的参数为与基准生存时间分布相关的参数 $\mu,\sigma$μ,σ，以及和协变量相关的系数 $\theta$θ。

参数符号说明：

• $\gamma = -\theta$γ=−θ
• $\theta$θ 称作加速系数，而 $\gamma$γ 常常被称为回归系数

参数估计与推断

考虑只有右删失情况的数据 $\{ (T_i, C_i):i=1,2,...,n\}${(Ti​,Ci​):i=1,2,...,n}，其中$T_i$Ti​表示第$i$i个病人的存活时间，$C_i$Ci​表示第$i$i个病人的生存状态。则由极大似然估计可得：
$L=\prod_{i=1}^{n}{f_i(T_i)}^{C_i}{S_i(T_i)}^{1-C_i}$L=i=1∏n​fi​(Ti​)Ci​Si​(Ti​)1−Ci​
其中，$f_i$fi​函数表示第$i$i个病人死亡时间的概率密度函数，$S_i$Si​函数表示第$i$i个病人生存函数，注意生存分析中 $f(t)=-S^{'}(t)$f(t)=−S′(t)。

而基准生存时间$t$t的概率分布已知，且 $T_i=t*e^{\theta \cdot x}$Ti​=t∗eθ⋅x，所以我们很容易得到 $f_i$fi​ 与 $S_i$Si​ 的表达式，进而写出极大似然估计量 $L$L。

然后通过优化算法估计参数，一般是最小化目标函数 $-log(L)$−log(L)。

R中的用法

R中的survreg函数使用log转化拟合AFT模型：

survreg.fit = survreg(formula, data=, dist="weibull", ...)

其中

• formula 是关于转化后的生存时间$In(T)$In(T)的表达式；
• dist 是假设$T$T所服从的概率分类类型， 包括”weibull”, ”exponential”, ”gaussian”, ”logistic”, ”lognormal” 和”loglogistic”.

拟合后的模型：

• 系数$\mu,\gamma$μ,γ：survreg.fit$coef；
• 方差矩阵：survreg.fit$var；
• 基准模型参数 $\mu, log \sigma$μ,logσ： survreg.fit$icoef；
• 模型诊断，残差分析：residuals(survreg.fit, type=)；

T服从Weibull分布

当死亡时间服从Weibull分布时，可以推导出如下内容：