5.1 无向图及有向图

我们分为无向图和有向图来介绍。

这里（$v_2$v2​,$v_3$v3​）出现两次表示$v_2$v2​与$v_3$v3​之间有两条无向边。
注意，无向图中用圆括号“（）”

有向图中用尖括号“<>”，尖括号里的第一个元素表示起点，第二个表示终点。

下面铺一些基础概念：


注意：这里$e_5$e5​跟$v_3$v3​关联两次。

再来看有向图：

注意：

• $e_5$e5​和$e_3$e3​是邻接的，而$e_5$e5​和$e_4$e4​不邻接。
• $e_1$e1​和$e_2$e2​是平行的，而$e_3$e3​和$e_4$e4​不平行。

辨析：

• 空图是没有结点
• 零图是没有边
• 平凡图是只有一个孤立的结点

这里我们用$\Delta$Δ（大写德尔塔）来表示最大的意思，$\delta$δ（小写德尔塔）来表示最小的意思。

再来看有向图的：

易知以下握手定理：

我们来看他的推论：

这个很容易理解，只有当奇度数的顶点为偶数个才能保证其总度数为偶数。

再来看有向图中的一个定理：

来看一道例题：


根据握手定理我们可以判断哪些度数列可以构成图。

刚才按图有没有方向我们把其分成了有向图和无向图。现在我们再引入一种分类方式。

在无向简单图中有一类特殊的图：

同理，在有向简单图中也有一类特殊的图：

在一个无向简单图中，一个点的最大度数为$n-1$n−1。即除自身为与所有的点相连。根据这个我们可以用来判断哪个度数序列可以构成无向简单图。

我们再来看正则图的概念：

易得：在n阶无向简单图中，若其是n正则图那么其是n阶无向完全图。

下边我们来看子图和补图：

生成子图就是在原图的基础上去边。

导出子图我们分为以点集导出子图和以边集导出子图。分别如下：

再来看补图：

同构：

简单来讲：

因为画图时我们对点和边的布局不同，所以同一个图可能有差别很大的画法。我们通过空间想象来进行图的变幻，如果两个图可以变成同一个形状我们称其为同构。（可以类比三角形中全等的概念）

例如：


注意：
这些都是充分条件。至今还没有找到便于判断的图的同构的充分必要条件。要证明同构只能根据定义找到顶点之间的满足条件的双射关系。

例题：


练习1：
设图G有n个结点，m条边，且G中每个结点的度数不是k，就是k+1，则G中度数为k的节点数是()

解析：
可列方程求解
$2m = xk + (n-x)(k+1)$2m=xk+(n−x)(k+1)

练习2：

解析：
如果是完全图的话，$|E|$∣E∣ = $\frac{5 X 6}{2}$25X6​ = 1。再多一条边就变成一个多重图了。

练习3：

解析：
因为是有向图，相同结点之间的有两条边。

练习4：
图G1和G2的结点和边分别存在一一对应关系是G1和G2同构的()?

充分条件。