概率统计 - 有趣的概率题
1.
问题：
x+y+z+m=10，其中x,y,z,m都是正整数，那么x,y,z,m有多少种不同的取值组合?
答案：
84
解析：
思路一：挡板问题求解。
十个小球，每个小球代表1，通过3个挡板将其分成四份。
9个空位，选3个空位，插入挡板
2
问题：
一个盒子中有三个大小相同的球，这三个球可能是红和蓝两种颜色，并且一个球是红的还是蓝的是等可能的。已知其中有一个是红色的，那么至少有一个球是蓝色的概率是多少?
答案：
6/7
解析：
思路一：条件概率求解。
P(A=有一个球是红色的）含义：有一个球是红色的真实含义是至少有一个球是红色的，即三个球不全为蓝色。
P(B=至少有一个球是蓝色的
要求的为，P(B|A), 有条件概率公式，我们知道
含义：有一个为红色确定了，剩下的两个不全为红色。
故P(B|A) = 6/7
3
问题：
老王有两个孩子，已知至少有一个孩子是在星期二出生的男孩。问：两个孩子都是男孩的概率是多大？
答案：
13/27
解析：
思路一：条件概率求解
A = 至少一个孩子是星期二出生的男孩
B = 两个孩纸都是男孩
求P(B|A) ， P(B|A) =
P(A) = P(两个男孩至少一个星期二的概率) + P(一男一女其中男孩是星期二的概率) =
P(AB) =
故，P(B|A) = = 13/27
这个等式值得玩味一下，正好引入另一种思路。
分子2*7-1正是两个男孩至少一个星期二出生的所有情况，而分母则为两个男孩至少一个星期二出生的所有情况+一男一女其中男孩星期二出生的所有情况。
如果从把所有情况列出来的角度考虑是会直接列出这个式子的，而不是再除以所有的可能7*7*4以求概率再套公式。
当然，这并不妨碍某个憨憨 （不是我） 上来就用贝叶斯公式 ,强行增加计算量
AB的含义一样
由贝叶斯公式可知：P(B|A) = P(A|B)*P(B) / P(A) ，其中
P(B) = 1/4
P(A) = (7*2+2*7-1) / 7*7*4
P(A|B) = (2*7 - 1) / 7*7
故P(B|A) = 13/27.
说明：
P(A) 的分母：每个孩子都有7种出生星期，两个孩子组合就是7*7，共有四种生孩子可能*4
P(A) 的分子：男孩星期二，女孩随意有7种可能，一男一女两种情况7*2，再加上两个都是男孩至少一个星期二2*7-1，减一排除两个都是星期二重复了一次。
P(A|B) 分子分母同上。
4
问题：
一堆硬币，一个机器人，如果是反的就翻正，如果是正的就抛掷一次，无穷多次后，求正反的比例？
答案：
2：1
解析：
思路一：
P(A = 在第N次为正面的概率)
P(B = 第N+1次为正面的概率）
根据题意，P(A) = P(B)
设P(A) = x, 那么由题意P（B）= x/2 + 1-x （注意这里x/2 是说已经为正面了再抛一次又为正面）
5
问题：
如果在高速公路上30分钟内看到车开过的几率是0.95，那么在10分钟内看到车开过的几率是多少?
答案：
63.16%
解析：
思路一：
设10分钟内看到车开过的几率是x,
那么30分钟没有一辆车开过的概率
解的 x = 0.6316
6
问题：在某恶劣天气，若地图上S点到T点的交通网如下图所示，其中每条边表示一条双向通道，其上的数字为该通路可通行的概率，且该概率两两独立。求S到T的可通行概率为多少？
答案：
59/144
解析
思路一
到达T有两种方式，从B到和从C到
1.能从B到：
<1>经过A再到B =1/2*1/3=1/6
<2>直接到B =1*2
能到B的情况为<1>,<2>都不成立的非，即1-5/6*1/2=7/12
故能从B到T的概率为7/12*1/2=7/24
不能从B到T的概率为17/24
2.能从C到：
不能从C到T的概率为5/6
故能到T的情况为1，2都不成立的非，即1-17/24*5/6=59/144
7
问题：
爸爸,妈妈,妹妹,小强,至少两个人同一生肖的概率是?
答案：
41/96
解析：
思路一：
P（A=生肖都不同） =
1- P(A) = 41/96