【基础算法】(11)树的概念及相关算法(一)
【基础算法】(11)树的概念及相关算法
Auther: Thomas Shen
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Date: 2017/12/21
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1. 基本概念：
树（tree）是n（n>=0）个结点的有穷集。n=0时称为空树。在任意一个非空树中：（1）每个元素称为结点（node）；（2）仅有一个特定的结点被称为根结点或树根（root）。（3）当n>1时，其余结点可分为m（m≥0）个互不相交的集合T1，T2，……Tm，其中每一个集合Ti（1<=i<=m）本身也是一棵树，被称作根的子树（subtree）。
2. 二叉树：
2.1 二叉树基本概念：
二叉树（Binary Tree）是每个节点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”（left subtree）和“右子树”（right subtree）。
二叉树的特点：
1. 二叉树不存在度大于2的结点。
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。斜树：
所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有的结点都只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树。
斜树每一层只有一个结点，结点的个数与二叉树的深度相同。其实斜树就是线性表结构。
2.2 满二叉树：
在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。
满二叉树具有如下特点：
1. 叶子只能出现在最下一层
2. 非叶子结点的度一定是2
3. 同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多。
2.3 完全二叉树：
若设二叉树的高度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第h层有叶子结点，并且叶子结点都是从左到右依次排布，这就是完全二叉树。
完全二叉树的特点：
1. 叶子结点只能出现在最下两层
2. 最下层叶子在左部并且连续
3. 同样结点数的二叉树，完全二叉树的深度最小
2.4 二叉树的性质：
- 每层结点数：二叉树的第ｉ层上最多有 （n=２^ｉ－１）个结点，（ｉ>=1）；
- 所有结点数：深度为Ｋ的二叉树最多有(n=２^Ｋ－１)个结点，（Ｋ>=1） ；
- 对于任意一棵二叉树，n0 ＝叶子结点总数、n1=度为１的结点总数、n2=度为２的结点总数、ｎ＝总结点数：n0=n2+1
- 分支线总数＝n-1=n1+2n2；
- ｎ=n0+n1+n2;
- n0+n1+n2-1 = n1+2n2 => n0=n2+1;
- 满二叉树的深度：log2(n+1)；
完全二叉树的深度：向下取整数(log2n)+1；
因为完全二叉树的所有叶子结点只能出现在最下两层，并且倒数第二层是满的情况，所以倒数第二层所在深度+1也是完全二叉树的深度；
- 层序遍历二叉树的顺序，对于任意一个结点编号 i（1<=i<=n），ｉ可以理解为数组下标+1，因为数组下标是从０开始的：
- 双亲结点编号：向下取整(i/2)；
- 如果２i>n，则该结点无左孩子，否则左孩子结点是 2i；
- 如果2i+1>n，则该结点无右孩子，否则右孩子结点是2i+1；
2.5 二叉树的存储方式：
2.5.1 顺序存储：
顺序存储，方便查询操作，并且可以根据层序遍历，合理的利用以上特性；
2.5.2 链式存储：
链式存储，方便新增，删除操作；结构为数据域+左孩子指针+右孩子指针 （二叉链表），如果有必要的情况下可以添加双亲指针，指向结点的双亲（三叉链表），这都是根据业务需求灵活控制的；
2.6 二叉树的遍历：
主要针对链式存储，按着一定顺序访问各个结点，保证每个结点仅被访问 一次，以下是根据结点访问顺序定义的；
前序：先访问根结点 -> 遍历左子树 -> 遍历右子树；先访问根结点
中序：遍历左子树 -> 访问根结点 -> 遍历右子树；中间访问根结点
后序：遍历左子树 -> 遍历右子树 -> 后访问根结点；后访问根结点
层序：自上而下，从左到右逐层访问结点；
推导：
1. 已知前序、中序，可以唯一确定一个二叉树；
2. 已知后序、中序，可以唯一确定一个二叉树；
3. 但是已知前序、后序却不能确定一棵二叉树；
3 二叉排序树(B树)：
http://blog.csdn.net/sup_heaven/article/details/39313731
二叉排序树（二叉搜索树，BST树）：二叉树中，每个节点都不比它左子树的任意元素小，而且不比它的右子树的任意元素大。又叫二叉搜索树。
特性：
1. 所有非叶子结点至多拥有两个儿子（Left和Right）；
2. 所有结点存储一个关键字；
3. 非叶子结点的左指针指向小于其关键字的子树，右指针指向大于其关键字的子树；
BST树的搜索，从根结点开始，如果查询的关键字与结点的关键字相等，那么就命中；否则，如果查询关键字比结点关键字小，就进入左儿子；如果比结点关键字大，就进入右儿子；如果左儿子或右儿子的指针为空，则报告找不到相应的关键字；
如果BST树的所有非叶子结点的左右子树的结点数目均保持差不多（平衡），那么B树的搜索性能逼近二分查找；但它比连续内存空间的二分查找的优点是，改变BST树结构（插入与删除结点）不需要移动大段的内存数据，甚至通常是常数开销；
如：
但BST树在经过多次插入与删除后，有可能导致不同的结构：
右边也是一个BST树，但它的搜索性能已经是线性的了；同样的关键字集合有可能导致不同的树结构索引；所以，使用BST树还要考虑尽可能让BST树保持左图的结构，和避免右图的结构，也就是所谓的“平衡”问题；
4. 平衡二叉树：
http://www.cnblogs.com/suimeng/p/4560056.html
平衡二叉树（Balanced Binary Tree）是二叉查找树的一个进化体，也是第一个引入平衡概念的二叉树。1962年，G.M. Adelson-Velsky 和 E.M. Landis发明了这棵树，所以它又叫AVL树。
平衡二叉树要求对于每一个节点来说，它的左右子树的高度之差不能超过1，如果插入或者删除一个节点使得高度之差大于1，就要进行节点之间的旋转，将二叉树重新维持在一个平衡状态。
这个方案很好的解决了二叉查找树退化成链表的问题，把插入，查找，删除的时间复杂度最好情况和最坏情况都维持在O(logN)。但是频繁旋转会使插入和删除牺牲掉O(logN)左右的时间，不过相对二叉查找树来说，时间上稳定了很多。
当AVL树插入、删除时失衡的调整主要是通过旋转最小失衡子树来实现的。
5. 霍夫曼编码：
http://blog.csdn.net/xgf415/article/details/52628073
霍夫曼编码（Huffman Coding）使用变长编码表对源符号（如文件中的一个字母）进行编码，其中变长编码表是通过一种评估来源符号出现机率的方法得到的，出现机率高的字母使用较短的编码，反之出现机率低的则使用较长的编码，这便使编码之后的字符串的平均长度、期望值降低，从而达到无损压缩数据的目的。
霍夫曼编码的具体步骤如下：
1.将信源符号的概率按减小的顺序排队。
2. 把两个最小的概率相加，并继续这一步骤，始终将较高的概率分支放在右边，直到最后变成概率１。
3. 画出由概率１处到每个信源符号的路径，顺序记下沿路径的０和１，所得就是该符号的霍夫曼码字。
4. 将每对组合的左边一个指定为0，右边一个指定为1（或相反）
例：现有一个由5个不同符号组成的30个符号的字符串： BABACAC ADADABB CBABEBE DDABEEEBB
1. 首先计算出每个字符出现的次数（概率）;
2. 把出现次数（概率）最小的两个相加，并作为左右子树，重复此过程，直到概率值为1;
3. 将每个二叉树的左边指定为0，右边指定为1;
4. 沿二叉树顶部到每个字符路径，获得每个符号的编码.
我们可以看到出现次数（概率）越多的会越在上层，编码也越短，出现频率越少的就越在下层，编码也越长。当我们编码的时候，我们是按“bit”来编码的，解码也是通过bit来完成，如果我们有这样的bitset “10111101100″ 那么其解码后就是 “ABBDE”。所以，我们需要通过这个二叉树建立我们Huffman编码和解码的字典表。
这里需要注意的是，Huffman编码使得每一个字符的编码都与另一个字符编码的前一部分不同，不会出现像’A’：00， ’B’：001，这样的情况，解码也不会出现冲突。
霍夫曼编码知识点:
- 路径：结点之间的分支构成两个结点之间的路径；
- 路径长度：两个结点之间的分支数量；
- 树的路径长度：从树根到每一结点的路径长度之和；
- 叶子结点带权路径长度：叶子结点到根结点的路径长度*叶子结点权值；
- 树的带权路径长度 WPL： 所有叶子结点带权路径长度之和；
- 赫夫曼树 ： WPL 最小的二叉树。也称最优二叉树；霍夫曼编码的局限性:
利用霍夫曼编码，每个符号的编码长度只能为整数，所以如果源符号集的概率分布不是2负n次方的形式，则无法达到熵极限；输入符号数受限于可实现的码表尺寸；译码复杂；需要实现知道输入符号集的概率分布；没有错误保护功能。
References. ：
- [ 1 ]. https://www.cnblogs.com/wangyingli/p/5933257.html
- [ 2 ]. 二叉树
- [ 3 ]. B树、B-树、B+树、B*树
- [ 4 ]. 平衡二叉树,AVL树之图解篇
- [ 5 ]. 红黑树(一)之 原理和算法详细介绍
- [ 6 ]. 霍夫曼编码（Huffman Coding）
- [ 7 ]. 数据结构中常见的树（BST二叉搜索树、AVL平衡二叉树、RBT红黑树、B-树、B+树、B*树）
- [ 8 ]. 二叉树，完全二叉树，满二叉树，二叉排序树，平衡二叉树，红黑树，B数，B-树，B+树，B*树（一）