机器学习（六）：CS229ML课程笔记（2）——逻辑回归
上一篇文章记录了线性回归，下面要说一说逻辑回归。
一、监督学习：
当我们预测连续值的时候被称为回归regression问题，预测离散值被称为分类classification问题。
Part 2:
1.为什么要逻辑回归：
（参考链接）
我们套用Andrew Ng老师的课件中的例子，下图中X为数据点肿瘤的大小，Y为观测结果是否是恶性肿瘤。通过构建线性回归模型，如hθ(x)所示，构建线性回归模型后，我们设定一个阈值0.5，预测hθ(x)≥0.5的这些点为恶性肿瘤，而hθ(x)<0.5为良性肿瘤。
但很多实际的情况下，我们需要学习的分类数据并没有这么精准，比如说上述例子中突然有一个不按套路出牌的数据点出现，如下图所示：
你看，现在你再设定0.5，这个判定阈值就失效了，而现实生活的分类问题的数据，会比例子中这个更为复杂，而这个时候我们借助于线性回归+阈值的方式，已经很难完成一个鲁棒性很好的分类器了。
在这样的场景下，逻辑回归就诞生了。在逻辑回归模型中，y是一个定性变量，比如y=0或1，logistic方法主要应用于研究某些事件发生的概率
2.逻辑回归（Logistic regression）：
先认识一个函数（logistic function or sigmoid function）：
，g(z)在（0，1）之间。
从函数图上可以看出，函数y=g(z)在z=0的时候取值为1/2，而随着z逐渐变小，函数值趋于0，z逐渐变大的同时函数值逐渐趋于1，通过这个函数可以将原始线性回归得到的连续的输出结果映射到0到1的范围。
所以我们定义线性回归的预测函数为：
对上述函数的求导：
一般使用梯度下降法效果最好的是凸函数，如下图第二个，但是我们目前面对的是非凸函数，有多个局部最低点，如图第一个，所以之前先行回归的求解方式在这里的效果可能不好。（下图来自博客https://blog.****.net/zjuPeco/article/details/77165974）
3.逻辑回归的求解（找代价函数）
3.1 从概率论角度：
我们把hθ(x)(就是上面的g(θT·x)视为类为1 的后验概率：(这是假设条件)
（1）
上面的公式（1）可以被写成下面的这个式子（将y=0或者y=1带入会有很奇妙的事情发生）：
（2）
公式（2）是一个训练集，如果有m个独立的训练集，用极大似然估计给定的训练集：
（3）
也就是求上述公式（3）的最大概率对应的θ，对这个函数去log,方便求解：
这就是代价函数了。如果样本的值是1的话，估计值h(z)越接近1付出的代价就越小，估计值越接近0付出的代价就越大；如果样本的值是0的话，估计值h(z)越接近1付出的代价就越大，估计值越接近0付出的代价就越小；
此时在用类似梯度下降法的梯度上升法（gradient ascent），因为前面是求误差最小，这里是求概率最大。（也可以在整个式子前面加个符号就变成就函数最小啦，再用梯度下降）
更新θ的公式：
求解过程（里面用到了前面推导的g'(z) = g(z）(1-g(z))：
最后得到：
α是学习率。
发现和之前最小二乘的结果很相似，但不相同。后面学了GLM会具体解释原因哒~
如果对上述过程还是不理解，推荐一篇好博文：逻辑回归(logistic regression)的本质——极大似然估计
3.2 感知机学习算法：
在此穿插另外一种算法： The perceptron learning algorithm
强迫输出结果只能为两个，0或者1：
也就是用这个阈值函数（threshold function）代替了上面的sigmoid function，
其他的和上面求解没有区别。
3.3 牛顿法
牛顿除了上述的梯度上升法的另外一种最大化的方式。
“基本牛顿法是一种是用导数的算法，它每一步的迭代方向都是沿着当前点函数值下降的方向。”（来自链接）
因为我们现在求得是的极值，所以将上述的
变成
，以公式（1）进行不断迭代，最后即可得到极值的横坐标。
下面要说的就是的二阶倒数的求法。公式（1）在此问题中可以用下面公式替代，这是换了一种写法：
其中表示
对θ的一阶偏导数，H 表示的是二阶偏导数，也被称为 Hessian，是个m×m的矩阵。
总结：牛顿方法Newton’s method一般比 (batch) gradient descent方法的迭代次数少，但是它的每个循环的代价较大，因为每次都要计算一个m×m的H矩阵，当样本m不是很大大的时候，这种方法比梯度下降收敛的更快。当牛顿法被用来解逻辑回归的 log likelihood function求最大问题的时候被称作 Fisher scoring.
Linear Regression 和logistic Regression都是属于GLM，套了logistic之后，输出结果就变成一个概率了，loss function和 likelihood function取反是类似的东西，都可以作为优化的目标。loss function 直接对残差求平方和，直觉上也是挺合理的；当然，对于logistic Regression来说，概率值求残差就说不太通了，更重要的原因是非凸函数，不好求解。