SLAM问题的处理方法主要分为滤波和图优化两类。

一、滤波方法（定位）

从贝叶斯理论的观点看，机器人定位问题就是要求已知历史的动作 $u_{k}$ ，感知 $z_{k}$ ，利用其两者确定机器人当前的状态 $x_{k}$ 。
据此定义贝叶斯模型：
$bel(x_{t}) = p(x_t|z_{1:t}, u_{1:t})$
利用贝叶斯法则可得：
$= \eta p(z_t|x_t,z_{1:t-1},u_{1:t})p(x_t|z_{1:t-1},u_{1:t})$
其中 $\eta = \frac{1}{p(z_t|z_{1:t-1},u_{1:t})}$ 为归一化常数。
根据Markov假设和全概率公式有：
$= \eta p(z_t|x_t) \int p(x_t|x_{t-1},z_{1:t-1},u_{1:t})p(x_{t-1}|z_{1:t-1},u_{1:t})dx_{t-1} \\ = \eta p(z_t|x_t) \int p(x_t|x_{t-1},u_t)p(x_{t-1}|z_{1:t-1},u_{1:t-1})dx_{t-1} \\ = \eta p(z_t|x_t) \int p(x_t|x_{t-1},u_t)bel(x_{t-1})dx_{t-1}$
据此可得出运动模型与观测模型如下：

运动模型

运动模型解决的问题是：
如何在当前位置 $x_{t-1}$ 作出动作 $u_t$ 时，给出机器人所处位置的概率分布。
$\bar{bel}(x_{t}) = \eta \int p(x_t|x_{t-1},u_t)bel(x_{t-1})dx_{t-1}$

观测模型

观测模型解决的问题是：
如何在感知到 $z$ 信息的情况下，更新当前的状态 $x$ 。
$bel(x_{t}) = p(z_t|x_t)\bar{bel}(x_{t})$
为求解以上的机器人定位问题，有两种主要的方法：
（1）粒子滤波（离散）（2）卡尔曼滤波（连续）

1、粒子滤波(Monte Carlo Localization)

$bel(x_{t}) = \eta \int p(z_t|x_t)p(x_t|x_{t-1},u_t)bel(x_{t-1})dx_{t-1}$
上面的推导过程中需要用到积分，对于一般的非线性，非高斯系统，很难得到后验概率的解析解。为了解决这个问题，需要引进蒙特卡洛采样，此方法也称为粒子滤波。
【SLAM笔记】贝叶斯滤波与Graph-SLAM
知识点：

因为 $bel(x_{t-1})$ 难以采样，故引入重要性采样的方法去估计 $bel(x_{t})$ 。
$bel(x_{t}) = \eta \int p(z_t|x_t)p(x_t|x_{t-1},u_t)q(x_{t-1})\frac{bel(x_{t-1})}{q(x_{t-1})}dx_{t-1} \\ = \eta \mathbb{E_q} [p(z_t|x_t)p(x_t|x_{t-1},u_t)\frac{bel(x_{t-1})}{q(x_{t-1})}]$ 参考：Particle Filter Tutorial 粒子滤波：从推导到应用（二）

2、卡尔曼滤波（连续）

假设
Move:
$p(x_k|x_{k-1},u_{k})$ ~ $\mathcal N(A_{k}x_{k-1}+B_{k}u_{k},R_{t})$ ，
$p(x_{k-1})$ ~ $\mathcal N(\mu_{k-1},\Sigma_{k-1})$
Sense:
$p(y_{k}|x_{k})$ ~ $\mathcal N(C_{k}x_{k},Q_{k})$
$p(x_{k})$ ~ $\mathcal N(\bar{\mu}_{k},\bar{\Sigma}_{k})$
据此可推导 $\mu_{k}$ 和 $\Sigma_{k}$ ，推导的知识点包括：

$p(x_k|x_{k-1},u_{k})$ 与 $p(x_{k-1})$ 的乘积仍然为高斯分布。
为了对 $x_{k-1}$ 部分进行积分，可先分离出关于 $x_{k-1}$ 的高斯分布。
高斯分布一阶导的零点为均值，二阶导的零点为协方差的逆。
参考：卡尔曼滤波器（THE KALMAN FILTER）的数学原理

二、图优化方法（定位与建图）

Graph SLAM

GraphSLAM背后的思想主要是把机器人或Landmarks的位姿抽象为点，把机器人在不同位姿运动和观测的约束抽象为边。从而构成信息矩阵 $\Omega$ 和信息向量 $\xi$ ，并满足 $\Omega$ $\mu$ = $\xi$ ，故地图所有点的位姿 $\mu$ 可由以下式子求得： $\mu=\Omega^{-1}\xi$
【SLAM笔记】贝叶斯滤波与Graph-SLAM

参考资料

Particle Filter Tutorial 粒子滤波：从推导到应用（一）
卡尔曼滤波器（THE KALMAN FILTER）的数学原理
 SLAM笔记三——贝叶斯滤波器
 Particle Filter Tutorial 粒子滤波：从推导到应用（二）
【SLAM】（二）Cartographer的原理探究——GraphSLAM理论基础

【SLAM笔记】贝叶斯滤波与Graph-SLAM