1.矩形波发生电路

1.1产生矩形波的过程分析

我们可以看到，这是一个基于滞回比较器的矩形波发生电路，只不过是在输入端和地之间用了一个电容C连接，下面我们先来分析它是怎么产生矩形波的：
首先，该滞回比较器的电压传输特性如上面的右图所示：
我们先假设某一个时刻，$u_0$u0​ = +$U_Z$UZ​，那么我们就看红线所示的回路，此时的$u_0$u0​将会给C充电，使得C上的电压$u_C$uC​(同时也是输入电压$u_I$uI​)增大，当$u_C$uC​增大到$U_T$UT​时，输出电压就立刻跳变成$-U_Z$−UZ​，此时，我们再看绿色线的回路，此时就是轮到C放电了，当电容C放电放到C上的电压为$-U_T$−UT​时，输出电压又跳变会$+U_Z$+UZ​（后面的过程就是一样的啦）

因此，根据上面的分析，我们知道电容充电到输出电压$u_0$u0​发生跳变时的电压为$+U_T$+UT​，电容放电放到输出电压$u_0$u0​发生跳变时的电压为$-U_T$−UT​

因此，我们就可以定性地画出电容电压（输入电压）的波形，然后根据滞回比较器的传输特性画出输出电压$u_0$u0​的波形：

1.2 参数计算（阈值电压，以及周期T【重要!】）

首先我们来计算滞回比较器的阈值电压：
$u_p = \frac{R_1}{R_1 + R_2}u_0 =± \frac{R_1}{R_1 + R_2}U_Z$up​=R1​+R2​R1​​u0​=±R1​+R2​R1​​UZ​
又由于$U_T = u_I|_{u_p = u_N}$UT​=uI​∣up​=uN​​
因此，有：$U_T = u_C = u_N = u_P = ± \frac{R_1}{R_1 + R_2}U_Z$UT​=uC​=uN​=uP​=±R1​+R2​R1​​UZ​

下面来计算周期，由于这里只是一个滞回比较器而并非积分运算电路，因此，我们使用三要素法：
回顾一下一阶RC电路的三要素公式：$f(t) = f(∞) + [f(0^+) - f(∞)]e^{-\frac{t}{τ}}$f(t)=f(∞)+[f(0+)−f(∞)]e−τt​
其中，$f(t)$f(t)是某一时刻电路的状态，$f(0^+)$f(0+)是电路的初始状态，$f(∞)$f(∞)为电路稳定时的状态
我们看上面的波形图知道，电容C充电和放电的时间是一样的，那么要求解T，我们可以只需要计算电容充电或放电其中之一所用的时间即可。

那么，我们就求电容充电时间好了：
设从t = 0开始，经过了$\frac{T}{2}$2T​之后，即$t = \frac{T}{2}$t=2T​，也就是电容C充电完成，那么此时，$f(\frac{T}{2}) = +U_T$f(2T​)=+UT​
我们知道，电容充电到稳定的值，也就是$f(∞)$f(∞)为$U_Z$UZ​，而电容刚开始充电的初始状态为$-U_T$−UT​，
将上面的参数带入三要素公式，得：$U_T = U_Z + (-U_T - U_Z)e^{\frac{-T/2}{τ}}$UT​=UZ​+(−UT​−UZ​)eτ−T/2​
解出T，得：$T = -2R_3Cln\frac{U_Z-U_T}{U_Z+U_T}$T=−2R3​ClnUZ​+UT​UZ​−UT​​
然后，我们把一开始计算得到得$U_T$UT​的表达式带进来，就得到了T：$T = 2R_3Cln(1 + \frac{2R_1}{R_2})$T=2R3​Cln(1+R2​2R1​​)

2. 占空比可调的矩形波发生电路

我们在上面得分析中提到了：刚刚得矩形波中，电容的充电时间和放电时间是一样的，因此，占空比就是1/2，那么，如果让电容C充放电的时间常数不一样，那么就实现占空比可调了，我们来看看电路应该怎么修改：

我们就是在$R_3$R3​所在的支路上加上了两个二极管和一个变阻器，我们来看看它是怎么工作的：
我们还是一样，假设某一时刻，$u_0 = +U_Z$u0​=+UZ​，那么，是通过$R_{w1}, D_1, R_3$Rw1​,D1​,R3​所在的支路给C充电，时间常数$τ_1$τ1​ = $(R_3 + R_{w1})C$(R3​+Rw1​)C，那么，C上的电压逐渐升高，当$u_C$uC​升高到$+U_T$+UT​时，$u_0$u0​立刻跳变到$-U_Z$−UZ​，那么C经过$R_3, D_2, R_{w2}$R3​,D2​,Rw2​的支路开始放电，时间常数为：$τ_2$τ2​ = $(R_3 + R_{w2})C$(R3​+Rw2​)C

大家发现了吗？C充电和放电的时间常数可以不相等了，那么我们就来看看T的计算吧：
这次，我们就得分开充电和放电来计算了：
【1.充电】：因为充电时，$u_0$u0​是大于零的，那么也就是说$U_T$UT​也是大于0的，由：$f(t) = f(∞) + [f(0^+) - f(∞)]e^{-\frac{t}{τ}}$f(t)=f(∞)+[f(0+)−f(∞)]e−τt​可知：
$U_T = U_Z + [-U_T - U_Z]e^{-\frac{t_1}{τ_1}}$UT​=UZ​+[−UT​−UZ​]e−τ1​t1​​
因此，我们可以得到充电时间$T_1$T1​：$T_1 = (R_3 + R_{w1})Cln(1+\frac{2R_1}{R_2})$T1​=(R3​+Rw1​)Cln(1+R2​2R1​​)
【2.放电】：在放电时，C放电放到稳定时的电压，也就是$f(∞)$f(∞)=-$U_Z$UZ​，由：$f(t) = f(∞) + [f(0^+) - f(∞)]e^{-\frac{t}{τ}}$f(t)=f(∞)+[f(0+)−f(∞)]e−τt​可知：$-U_T = -U_Z + (U_T - (-U_Z))e^{-\frac{t_2}{τ_2}}$−UT​=−UZ​+(UT​−(−UZ​))e−τ2​t2​​
因此，我们可以得到放电时间为：$T_2 = (R_3 + R_{w2})Cln(1+\frac{2R_1}{R_2})$T2​=(R3​+Rw2​)Cln(1+R2​2R1​​)
因此，总周期就等于：$T = T_1 + T_2 = (R_w + 2R_3)Cln(1+\frac{2R_1}{R_2})$T=T1​+T2​=(Rw​+2R3​)Cln(1+R2​2R1​​)
占空比就等于高电平持续时间比上总周期：（我们知道在电容充电的时期电路是输出高电平的，因为只有$u_0$u0​>0的时候才会给C充电）$q = \frac{T_1}{T}$q=TT1​​

3.三角波发生电路

我们看到，确实，如果想要得到三角波，我们直接把得到的矩形波做一个积分运算就好了。电路的左边部分是滞回比较器，右边部分是积分运算电路。

【参数计算】
首先我们分析阈值电压$U_T$UT​：
$u_P = \frac{R_2}{R_1+R_2}u_0 + \frac{R_1}{R_1+R_2}(±U_Z)$uP​=R1​+R2​R2​​u0​+R1​+R2​R1​​(±UZ​)
又$U_T = u_I|_{u_p = u_N}$UT​=uI​∣up​=uN​​，因此，我们可以得到：$U_T = u_I = u_0 = ±\frac{R_1}{R_2}U_Z$UT​=uI​=u0​=±R2​R1​​UZ​

那么，这里的三角波是怎么画出来的呢？
这就必须的提到：积分运算电路里面很重要的一个式子，也就是后面的文章里面我们经常要用来计算T的一个关系：$u_0 = -\frac{1}{RC}u_I(t_2-t_1) + u_0(t_1)$u0​=−RC1​uI​(t2​−t1​)+u0​(t1​)
其中，$u_0(t_1)$u0​(t1​)是输出电压的在做积分运算之前的一个初始状态，那么我们来看，当$u_{01} = +U_Z$u01​=+UZ​时，由上式子我们得到：$u_0 = -U_T = -\frac{1}{R_3C}U_Z\frac{T}{2} + U_T$u0​=−UT​=−R3​C1​UZ​2T​+UT​
我们看到，是纵轴截距为$+U_T$+UT​，斜率为负数的直线，和上图的波形吻合。

到这里，离周期的成功计算就不远了：
我们把上面式子里面的T解出来，得：$T = \frac{4U_TR_3C}{U_Z} = \frac{4R_1R_3C}{R_2}$T=UZ​4UT​R3​C​=R2​4R1​R3​C​

4.锯齿波发生电路

通过上面的分析，我们知道：三角波电路是对占空比1/2的矩形波积分得到的，那么如果对其他占空比的矩形波做积分，就会得到我们的锯齿波：

如果我们想要获得下面这样子的波形：

先来看看滞回比较器的阈值电压吧,这次我就不详细推导了：$U_T = u_0 = ±\frac{R_1}{R_2}U_Z$UT​=u0​=±R2​R1​​UZ​

我们可以看到，当$u_{01}$u01​为高电平时，$u_0$u0​是一条斜率为负数的直线，根据积分电路的输出输入关系：$u_0 = -\frac{1}{RC}u_I(t_2-t_1) + u_0(t_1)$u0​=−RC1​uI​(t2​−t1​)+u0​(t1​)
那么，在$u_{01}$u01​为高电平时，我们有：$-U_T = -\frac{1}{(R_3 + R_{w1})C}u_ZT_1 + U_T$−UT​=−(R3​+Rw1​)C1​uZ​T1​+UT​
得到$T_1$T1​的表达式为：$T_1 = 2(R_3 + R_{w1})C\frac{R_1}{R_2}$T1​=2(R3​+Rw1​)CR2​R1​​
很类似的，当$u_{o1}$uo1​为低电平，我们有：$U_T = \frac{1}{C(R_3 + R_{w2})}U_ZT_2 - U_T$UT​=C(R3​+Rw2​)1​UZ​T2​−UT​
得到：$T_2 = \frac{2R_1}{R_2}(R_3 + R_{w2})C$T2​=R2​2R1​​(R3​+Rw2​)C
当我们滑动变阻器的划片处在最上面的时候，$R_{w1} ≈ 0$Rw1​≈0, $R_{w2} ≈ R_w$Rw2​≈Rw​，那么就可以得到上面需要的波形啦！

在分析完非正弦波发生电路之后，我们总结一下我们需要掌握的要点：
1.三要素法公式（针对没有积分运算电路的情况）：$f(t) = f(∞) + [f(0^+) - f(∞)]e^{-\frac{t}{τ}}$f(t)=f(∞)+[f(0+)−f(∞)]e−τt​
2.对于积分运算电路，有：$u_0 = -\frac{1}{RC}u_I(t_2-t_1) + u_0(t_1)$u0​=−RC1​uI​(t2​−t1​)+u0​(t1​)
3.对于滞回比较器的输入电压波形，它的最大值就是+$U_T$UT​，最小就是-$U_T$UT​
4.C充电达到稳定是+$U_Z$UZ​，放电到达稳定是-$U_Z$UZ​（这个就是三要素里面∞的值，但是实际上充不到或者放不到这个电压，C上的电压到达+$U_T$UT​或者-$U_T$UT​之后，输出电压就会跳变