COMSOL 偏微分方程接口

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COMSOL Multiphysics是一款强大的多物理场仿真软件。除了内置的众多典型物理场外，其还允许用户基于方程进行建模，例如使用 PDEs (Partial Differential Equations) 、ODEs (Ordinary Differential Equations) 以及 DAEs (Differential Algebraic Equations) 建模。这里主要介绍COMSOL偏微分方程接口。

接口简介

COMSOL的偏微分方程接口下常用的有两种方程形式：

1. 系数型偏微分方程
2. 一般形式偏微分方程

系数型偏微分方程

COMSOL提供的模板
$\underbrace{\textcolor{red}{e_a}\frac{\partial^2u}{\partial t^2}}_{\text{质量}}+\underbrace{\textcolor{red}{d_a}\frac{\partial u}{\partial t}}_{\text{阻尼}}+\nabla\cdot\overbrace{(-\underbrace{\textcolor{red}{c}\nabla u}_{\text{扩散}}-\underbrace{\textcolor{red}{\alpha} u}_{\text{对流}}+\underbrace{\textcolor{red}{\gamma}}_{\text{源}})}^{\text{守恒通量}}+\underbrace{\textcolor{red}{\beta}\cdot\nabla u}_{\text{对流}}+\underbrace{\textcolor{red}{a}u}_{\text{吸收}}=\underbrace{\textcolor{red}{f}}_{\text{源}}$质量ea​∂t2∂2u​​​+阻尼da​∂t∂u​​​+∇⋅(−扩散c∇u​​−对流αu​​+源γ​​)​守恒通量​+对流β⋅∇u​​+吸收au​​=源f​​
式中，$u$u 为所研究的场变量，红色变量是由用户确定的数值或表达式。

一般形式偏微分方程

COMSOL提供的模板
$\textcolor{red}{e_a}\frac{\partial^2u}{\partial t^2}+\textcolor{red}{d_a}\frac{\partial u}{\partial t}+\nabla\cdot\textcolor{red}{\Gamma}=\textcolor{red}{f}$ea​∂t2∂2u​+da​∂t∂u​+∇⋅Γ=f
同样地，$u$u 为场变量，红色变量由用户确定。需要注意，变量 $\Gamma$Γ 可以为包含场变量以及其偏导数的复杂表达式。

算例测试

采用《相场损伤模型》中的物理模型，即
$\begin{cases} d-l^2\Delta d=0&~\mathrm{in}~V\\[5pt] \nabla d\cdot\boldsymbol{n}=0&~\mathrm{on}~\partial V\\[5pt] d(\boldsymbol{x})=1&~\mathrm{on}~\Gamma \end{cases}$⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​d−l2Δd=0∇d⋅n=0d(x)=1​ in V on ∂V on Γ​
对于特征长度参数 $l=0.25$l=0.25 、边长为 2 的正方形（二维）求解域进行计算。

采用系数型方程

令扩散系数 $c=l^2$c=l2 、吸收系数 $a=1$a=1 、其余待定变量均设为零。裂纹几何特征与《相场损伤模型》中保持一致。

计算结果如下

采用一般形式方程

令守恒通量 $\Gamma=[\partial d/\partial x,\partial d/\partial y]$Γ=[∂d/∂x,∂d/∂y] 、源项 $f=d/l^2$f=d/l2 、其余待定变量均设为零。裂纹几何特征采用箕舌线的形式，在本文中其具体方程为
$\begin{cases} x=\tan\theta\\[5pt] y=\cos^2\theta-0.7 \end{cases}$⎩⎨⎧​x=tanθy=cos2θ−0.7​
式中，$\theta\in[-\pi/4,\pi/4]$θ∈[−π/4,π/4] 。

计算结果如下

注意事项

1. 对裂纹处网格进行手动划分时，可设置全局变量来控制裂纹边上的最大单元大小，并将最大单元增长率设为较小值，由此获得较高的网格质量

   本文设裂纹边的最大单元大小 $l_e=0.07$le​=0.07 、最大单元增长率为1.1，除裂纹边外区域的最大单元大小为 $3l_e$3le​

2. 在COMSOL中零通量选项对应Neumann边界条件，Dirichlet边界条件需手动添加

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