第四章 复平面

这一章强烈推荐去看B站上的3Blue1Brown的欧拉公式和初等群论这一节，用几何语言来讲述欧拉公式的形成，尤其是用极为精彩的方法解释了为什么以e为底数。网址如下

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4.1简介

某些学科的历史常常使人兴奋不已，尤其是在对日期或现有艺术有争议时。澄清谁在别人之前做了什么事，是历史学家的工作，他们可以帮助弄清谁该为某一事件负责，谁应该取得功劳。从文献、书籍和私人信件解开事件，并将它们放置在一个公正的位置，需要学科知识客观的分析。

对于大多数研究学科来说，两个日期在确定优先顺序中中是非常重要的：一份论文提交出版的日期，以及一份已发表论文的发表日期。，假设有一个高效的邮政系统，一个公正的同侪审查制度，以及其他许多，这样的协议似乎是一个公平的计划

在数学和科学中，一些研究者并不总是有信心发布一个新的想法，如果没有发表，这个想法要么留在他们的脑中，要么放在笔记本上，可能在研究人员死后被发现。不幸的是，对于历史学家来说，人类的头脑并不是一个方便的信息储存库！

4.2一些历史

关于复平面的一些历史就不翻译了。

4.3复平面

和复数发展有关的人中就有伟大的瑞士数学家欧拉，欧拉证明了定义

e^iθ= cosθ + i sinθ

并且当θ = π时,就会出现数学中最完美的公式之一：

e^iπ= −1  或  e^iπ + 1 = 0

其中包括了5个最重要的的常数：0,1.e. π和i，和最基础的运算：加法，乘法和幂。

当θ = π/2时会出现其他结果：

e^iπ/2 = cos π/2+ i sinπ/2= i

因此

iⁱ = (e^iπ/2)ⁱ= e^i2π/2=e^−π/2= 0.207879576...

说明了虚数的单位元可以和他自己运算产生实数！

在3章我们看到，i的幂产生两个序列（1，i，-1，-i，1，…）和（1，−i，−1，i，1，…），这和一个笛卡尔坐标轴顺时针和逆时针方向产生的旋转序列（x，y，−x，−y，x，…）和（x，-y，−x，y，x，…）有惊人的相似之处。这种相似性不是巧合，因为复数属于一个叫做复平面的二维平面，我们现在将描述它。

图1 复平面和单位圆

复平面上使我们能够将复数映射为横轴记录实数部分，与纵轴记录的虚数部分，如图4.1所示。该图还显示了一个单位圆，它依次通过1，i，−1，−i，这些i的幂，这表明乘一个i相当于旋转90°。为了演示这种旋转效果，图4.2显示了四个复数的复平面：

p = 2 + i，q = 1 +−2i，r =−2−i，s = 1−2i

他们之间相距90度。

有四个复数的复平面

√i相当于旋转45°

4.4极坐标表示

一个复数的极坐标表示

线长r，又称幅值为

r = |z| = √(a² + b²)

和实轴之间的夹角为

arg(z) = θ 其中 tanθ = b/a

按如下规则计算

第一象限         a > 0, b > 0   θ =arctan(b/a)

第二、三象限     a < 0        θ = arctan(b/a) + π

第四象限         a > 0, b < 0   θ = arctan(b/a) + 2π

因此我们可以将复数写为

z = a + bi= r cosθ + ri sinθ= r(cosθ + i sinθ).

根据欧拉的发现可得

e^iθ = cosθ + i sinθ

因此可以写出

z = re^iθ

因此当我们有如下两个复数

z = re^iθ

w = se^iφ

他们的乘积为

zw = rse^iθe^iφ= rse^i(θ+φ)=rs[cos(θ + φ) + i sin(θ + φ)].

幅值|zw| = rs，夹角arg(zw) = θ + φ

除法类似，不再赘述。

4.5旋转

从上述研究中可以发现，z = re^iθ的模是r， w = se^iφ的模是s，他们之间相乘出的第三个复数模是rs，无法描述描述旋转，因此，为了避免这种情况，z，w的模必须是单位元，在这种条件下才能表示旋转。

任何复数乘以e^iθ相当于旋转θ角。

复数x+yi旋转θ角也可以表示为

x’ + y’i = (cosθ + i sinθ)(x + yi)= x cosθ − y sinθ + i(x sinθ + ycosθ)

他的矩阵形式为

[x’,-y’; y’, x’]= [cosθ ,-sinθ; sinθ,cosθ] [x ,-y; y, x]

因此我们定义旋转复数R_θ和他的共轭R_θ^*

R_θ=cosθ + i sinθ，表示顺时针旋转θ°

R_θ^*=cosθ +-i sinθ，表示逆时针旋转θ°

4.6总结

在这一章中，我们发现了复数平面的图形解释。欧拉公式e^iθ=cosθ+isinθ允许我们表达复数的虚数幂，从而使我们能够计算乘法和除法更容易。总的来说，这些想法都是带领我们走向一个旋转的理念，这会发展为采用四元数。

4.6.1运算总结