傅里叶变换到拉普拉斯变换及收敛域分析

傅里叶变换得满足狄利赫里条件

狄利赫里条件为：

 

傅里叶变换有一个很大局限性，那就是信号必须满足狄利赫里条件才行，特别是那个绝对可积的条件，一下子就拦截掉了一大批函数。比如函数 f(t)=t^2 就无法进行傅里叶变换。这点难度当然拿不到聪明的数学家们，他们想到了一个绝佳的主意：把不满足绝对的可积的函数乘以一个快速衰减的函数，这样在趋于无穷 时原函数也衰减到零了，从而满足绝对可积。换种说法，其就是一个信号与相乘后的傅里叶变换

拉普拉斯变换解决了不满足绝对可积条件的连续信号，变换到频率域的问题，同时也对“频率”的定义进行了扩充。
所以拉普拉斯变换与连续时间傅里叶变换的关系是：
拉普拉斯变换将频率从实数推广为复数，因而傅里叶变换变成了拉普拉斯变换的一个特例。
当s为纯虚数时，x(t)的拉普拉斯变换，即为x(t)的傅里叶变换。

 

从幅度谱图像上看，拉普拉斯的函数是一个复平面函数，是一个面。是三维的

而傅里叶变换，是它的一个特例，就像这个平面中的一根线，即一个截面 。是二维的

 

https://www.zhihu.com/question/22085329/answer/103926934

 

我们知道，s平面的横坐标便是复数s的实部，纵坐标是虚部。

注意上图，由无数条一竖竖直线组成，那其中的一竖直线代表什么意思呢？

我们先在其中取一竖固定的直线，此时为一固定值，而则从到变化。

当为某一实数，信号为一确定信号，从而也确定了，此时s平面中与中的是相对应的，即s平面中的一竖直线对应某一种确定信号的傅里叶变换！

再来总结一下s平面：横坐标确定了某一信号，从而确定某一傅里叶变换。而纵坐标与傅里叶变换的定义域jw相对应。

 

 

假设有一右边信号，让该信号做拉普拉斯变换，先乘以得到信号，想一下，此时当时，往右看，成增长趋势，并不是收敛函数。

因此，并不是所有的都使收敛。

所以，得出了收敛域的定义：在收敛域中，存在，使得为收敛函数，从而。收敛。

 

下图为一右边信号，使等于某一实数，使得为收敛函数，如图：

此时，当时，衰减速度更快，从而可知也一定收敛。

 

所以可以得到拉普拉斯收敛的一个性质

如果是双边信号呢，我们可以把分解成一左边信号和右边信号

 

 = +。当收敛时，也一定有和同时收敛，所以可知的收敛域为与两者收敛域的重叠部分