波动方程——弦的横振动（牛顿第二定律+胡克定律）| 偏微分方程（二）

弦的横振动

物理问题：一根弦在内部张力作用下处于平衡位置，某个微小扰动引起部分质点的位移，内部张力又使邻近的部分随之产生位移，形成波的运动。

分析步骤：求解弦的运动，首先要去“去粗存精”，对弦及其运动作“理想化”假设，即建立物理模型。

理想化假设：

1. 弦均匀细长，从而其横截面可忽略而视作线，线密度为常数。
2. 弦柔软弹性，可任意弯曲，张力满足胡可定律。
3. 弦的运动在同一平面内进行，每个质点的位移都是横向的，即垂直于弦的平衡位置，且绝对位移和相对位移都很小。

基本物理定律：

1. 牛顿第二定律
2. 胡克定律

数学模型：

1. 取弦在自身张力作用下的平衡位置所在直线为x轴，横向位移方向为u轴。

2. 设t时刻弦上x处的质点相对于平衡位置的横向位移$u=u(t,x)$u=u(t,x)为未知函数。

3. 微元分析法：在弦上取微元$[x,x+dx]$[x,x+dx]，微分记号$dx$dx表示一个无穷小改变量。此微元可视作质量为$\rho dx$ρdx的质点，在他时刻的运动遵循牛顿第二定律。

$F = ma$F=ma

4. 微元所受的外力有左端点的张力$-T(t,x)$−T(t,x)，右端点的张力$T(t,x+dx)$T(t,x+dx)，以及加在微元上的垂直于$x$x轴的外力$G(t,x;dx)$G(t,x;dx)。

   如果线密度$\rho$ρ为常数，t时刻作用与x处的单位长度上的外力，即外力密度$g(t,x)$g(t,x)已知，张力$T(t,x)$T(t,x)关于x可微，则微元服从的牛顿第二定律可具体表示为
   $\rho dx\frac{\partial^2u}{\partial t^2}\bold u^。=-\bold T(t,x)+\bold T(t,x+dx)+\bold G(t,x;dx) \\ \approx \frac{\partial \bold T}{\partial x}dx + g(t,x)dx\bold u^。$ρdx∂t2∂2u​u。=−T(t,x)+T(t,x+dx)+G(t,x;dx)≈∂x∂T​dx+g(t,x)dxu。
   其中，第二个等号忽略了$dx$dx的高阶无穷小。其分量形式为
   $\frac{\partial T_1}{\partial x}=0 \tag{1}$∂x∂T1​​=0(1)

   $\rho \frac{\partial ^2u}{\partial t^2}=\frac{\partial T_2}{\partial x}+g(t,x) \tag{2}$ρ∂t2∂2u​=∂x∂T2​​+g(t,x)(2)

   其中，$T_1,T_2$T1​,T2​分别是张力$\bold T$T在$\bold x^。$x。和$\bold u^。$u。方向的分量。这就是弦振动满足的基本偏微分方程组。

   由于张力沿弦的切向作用，有第三个方程
   $T_2 = T_1\frac{\partial u}{\partial x}$T2​=T1​∂x∂u​
   代入(1)式、(2)式，便可化简得
   $\rho \frac{\partial^2u}{\partial t^2}=T_1(t)\frac{\partial^2x}{\partial x^2}+g(t,x) \tag{3}$ρ∂t2∂2u​=T1​(t)∂x2∂2x​+g(t,x)(3)
   在微小横振动的假设下，$|\frac{\partial u}{\partial x}|<<1$∣∂x∂u​∣<<1，张力大小
   $T=\sqrt{T_1^2+T_2^2}=T_1\sqrt{1+(\frac{\partial u}{\partial x})^2} \approx T_1$T=T12​+T22​​=T1​1+(∂x∂u​)2​≈T1​
   微元弧长
   $ds=\sqrt{dx^2+du^2}=dx\sqrt{1+(\frac{\partial u}{\partial x})^2}\approx dx$ds=dx2+du2​=dx1+(∂x∂u​)2​≈dx
   在运动过程中，微元弧长保持不变，由胡克定律知，张力大小$T\approx T_1$T≈T1​也不随时间变化，从而$T\approx T_1$T≈T1​为常数，(3)式改写为
   $\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+f(t,x), \quad a=\sqrt{\frac{T}{\rho}},\quad f(t,x)=\frac{g(t,x)}{\rho} \tag{4}$∂t2∂2u​=a2∂x2∂2u​+f(t,x),a=ρT​​,f(t,x)=ρg(t,x)​(4)
   称为弦的横振动方程。其中，系数$a$a反映波的传播速度，由弦本身性质决定；$f(t,x)$f(t,x)则是作用在弦身单位质量上的外力，当弦*振动是，$f(t,x)\equiv 0$f(t,x)≡0

总结：推导方程的过程，实际上就是将微元运动满足的物理定律翻译成用已知函数、未知函数及其偏导数表示的数学式子。

推广：凡是弹性介质中微小扰动的传播问题，如弹性杆的纵振动、弹性膜的横振动、声波在空气中的传播等，都可用类似方法导出同一类型的方程，一般表示为
$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a\Delta u +f(t,x), \quad x=(x_1,x_2,...,x_n), \quad n=1,2,3 \tag{5}$∂t2∂2u​=aΔu+f(t,x),x=(x1​,x2​,...,xn​),n=1,2,3(5)
其中，$\Delta=\sum_{j=1}^n\frac{\partial^2}{\partial x_j^2}$Δ=∑j=1n​∂xj2​∂2​为拉普拉斯算子。此类方程称为波动方程，弦振动方程（4）被称为一维波动方程。而对于固体弹性波方程、流体波方程、电磁波方程等。在一些重要的特殊情况下，可约化为波动（5）。

思考：弦振动方程（3）是在一定的理想化假设下导出的。如果存在其他不能忽略的因素，比如弦在粘稠液体中振动，阻尼必须考虑，推出的方差中就会增加$\alpha \frac{\partial u}{\partial t}$α∂t∂u​项。故任何数学模型都是相对的，超出一定范围，则需要建立新的模型。