Convolution

引

已知两个拉普拉斯变换结果$F(s),G(s)$F(s),G(s),
$F(s) = \int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt\\ G(s) = \int_{0}^{\infty}e^{-st}g(t)dt$F(s)=∫0∞​e−stf(t)dtG(s)=∫0∞​e−stg(t)dt
它们的乘积$F(s)\cdot G(s)$F(s)⋅G(s)为何？

我们知道拉普拉斯变换就是连续版的幂级数

于是我们可以用幂级数的乘积类比出卷积的公式
$F(x) = \sum_0^\infty a_nx^n\\ G(x) = \sum_0^\infty b_nx^n\\ F(x)\cdot G(x) = \sum_{n=0}^\infty(\sum_{m=0}^na_mb_{n-m})x^n$F(x)=0∑∞​an​xnG(x)=0∑∞​bn​xnF(x)⋅G(x)=n=0∑∞​(m=0∑n​am​bn−m​)xn
幂级数的乘积的系数乘为柯西乘积，思考:

$x^n$xn项可以由$1,x^n$1,xnx相乘得到 可以由$x,x^{n-1}$x,xn−1相乘，$x^2,x^{n-2}$x2,xn−2相乘，…，$x^m,x^{n-m}$xm,xn−m相乘，…，$x^n,1$xn,1相乘得到，所以就得出$x^n$xn项的系数为柯西乘积

于是我们把这个式子变连续，即可得：
$F(s)\cdot G(s) = \int_{0}^{\infty}(\int_0^tf(u)g(t-u)du)e^{-st}dt = \int_{0}^{\infty}(f*g)e^{-st}dt$F(s)⋅G(s)=∫0∞​(∫0t​f(u)g(t−u)du)e−stdt=∫0∞​(f∗g)e−stdt
其中
$\int_0^tf(u)g(t-u)du$∫0t​f(u)g(t−u)du
称为$f$f和$g$g的卷积，写作$f*g$f∗g

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文章目录

• Convolution
• 引
• @[toc]
• 证明
• 性质
• 理解卷积

证明

用二重积分换元证明
$F(s)\cdot G(s) = \int_{0}^{\infty}e^{-su}f(u)du\cdot \int_{0}^{\infty}e^{-sv}g(v)dv$F(s)⋅G(s)=∫0∞​e−suf(u)du⋅∫0∞​e−svg(v)dv
根据小富比尼定理（$\text{Little Fubini's theorem}$Little Fubini’s theorem）
$=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-s(u+v)}f(u)g(v)dudv$=∫0∞​∫0∞​e−s(u+v)f(u)g(v)dudv
令$t = u+v$t=u+v, 换元
$\left\{\begin{matrix} u = u\\ v = t-u \end{matrix}\right.${u=uv=t−u​
雅可比行列式 $Jacobian$Jacobian
$J_T = \begin{vmatrix} 1 & 0\\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1$JT​=∣∣∣∣​1−1​01​∣∣∣∣​=1
原积分区域施以逆变换$T^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$T−1=(11​01​), 即基向量$\begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}$[10​] 变换为 $\begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix}$[11​]

即得到
$=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{t}e^{-st}f(u)g(t-u)J_T\ dudt\\ =\int_{0}^{\infty}e^{-st}\int_{0}^{t}f(u)g(t-u)dudt\\ =\int_{0}^{\infty}e^{-st}(f*g)dt$=∫0∞​∫0t​e−stf(u)g(t−u)JT​ dudt=∫0∞​e−st∫0t​f(u)g(t−u)dudt=∫0∞​e−st(f∗g)dt

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性质

摘自wiki https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%B7%E7%A7%AF

交换律 $f*g = g*f$f∗g=g∗f

结合律 $f*(g*h) = (f*g)*h$f∗(g∗h)=(f∗g)∗h

分配律 $f*(g+h) = (f*g) + (f*h)$f∗(g+h)=(f∗g)+(f∗h)

数乘结合律 $a(f*g) = (af)*g = f*(ag)$a(f∗g)=(af)∗g=f∗(ag) a为任意实数（或复数）

微分定理 $\mathcal{D}(f*g) = \mathcal{D}f*g = f*\mathcal{D}g$D(f∗g)=Df∗g=f∗Dg

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理解卷积

可以理解为$f(t)$f(t)为系统的元素输入率，$g(t)$g(t)理解为系统元素本身的变化比率

e.g. 核废料填埋

填埋率为$f(t)$f(t),衰变率$g(t) = e^{-kt}$g(t)=e−kt

某一时间$u$u填进废料$f(u)du$f(u)du 这一堆放射性废料在$t$t时刻衰变为原来的$e^{-k(t-u)}$e−k(t−u)倍

所以$t$t时刻的放射性物质为$f$f和$g$g的卷积 即
$\int_0^tf(u)e^{-k(t-u)}du$∫0t​f(u)e−k(t−u)du