《数字图像处理》-（3）-1从傅里叶级数到傅里叶变换详细推导以及傅里叶图像的性质

1 傅里叶级数到傅里叶变换公式推导

1.1傅里叶级数

傅里叶级数：周期信号都可以分解为有限或无限个正弦波或余弦波的叠加，且这些波的频率都是原始信号频率的整数倍。用傅里叶级数或变换表示的函数特征完全可以通过傅里叶反变换来重建，且不会丢失任何信息。

在详细的公式推导之前，我想先分析一下频域和时域之间的关系：

最前面黑色的线就是所有正弦波叠加而成的总和，也就是越来越接近矩形波的那个图形。而后面依不同颜色排列而成的正弦波就是组合为矩形波的各个分量。这些正弦波按照频率从低到高从前向后排列开来，而每一个波的振幅都是不同的。一定有细心的读者发现了，每两个正弦波之间都还有一条直线，那并不是分割线，而是振幅为0的正弦波！也就是说，为了组成特殊的曲线，有些正弦波成分是不需要的。

我们眼中的世界就像皮影戏的大幕布，幕布的后面有无数的齿轮，大齿轮带动小齿轮，小齿轮再带动更小的。在最外面的小齿轮上有一个小人——那就是我们自己。我们只看到这个小人毫无规律的在幕布前表演，却无法预测他下一步会去哪。而幕布后面的齿轮却永远一直那样不停的旋转，永不停歇。

1.2傅里叶级数的公式推导

通过傅里叶级数的定义，一个周期函数可以表示为








理解：将原始信号和该信号做乘求积分，相当于原始信号在该频率下的三角函数的投影，相当于求出该信号下的相应，求积分相当于求原始信号一个周期内的面积，除以周期得到的是该信号的幅值。 相当于多维信号下求原始信号在该维下的投影。

1.3傅里叶级数的指数形式

复数：
复数最直观的物理意义就是旋转，为了有效区别X,Y轴，对Y轴进行标识就是j。当数字4乘以-1时，相当于在数轴上旋转了180°，j=√(−1)，那么4*j就是旋转了90度。

泰勒级数：
泰勒级数就是用多项式就是用多项式函数去逼近光滑函数。


欧拉公式：


实数轴上为余弦函数，虚数轴上做正弦函数。
现代物理学告诉我们，宏观宇宙的构成本质是旋转的，带有圆周运动和自旋性；微观世界也是旋转的，也带有圆周运动和自旋性，而欧拉公式描述的核心正是旋转与频率，因此，在物理学定量意义上讲，称它是宇宙第一公式一点也不为过！
欧拉公式将指数函数的定义域扩大到了复数域，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”

得到傅里叶级数的指数形式：

1.4傅里叶变换

黎曼和表达式的实质是，求取面积时，将其分段，乘以步长，面积累积为函数的面积。另一层意思，如何将离散的变为连续的。

将离散变为连续需要步长趋近于0.这里就是周期趋近于无穷大。

然后将Wx替换为2πu则

很多时候信号不是周期的，当我们把周期看成无穷大时，那么离散的傅立叶级数也就成为了连续的傅立叶变换了，傅里叶变换则是将一个时域非周期的连续信号，转换为一个在频域非周期的连续信号。傅里叶级数中的两个频率间隔为1/T,当周期无穷大的时候，两个频率之间无间隔，也就变为连续图像。


傅里叶反变换即为对某时刻所有的频率在该时刻的数值进行积分。即为有图中的频率方向求积分。由傅里叶级数可知，对应幅值的频率分量的乘积即对所有频率进行积分。
有了欧拉公式的帮助，我们便知道：正弦波的叠加，也可以理解为螺旋线的叠加在实数空间的投影。

1.5离散傅里叶变换

1.6二维傅里叶变换

2图像傅里叶变换的性质

2.1 平移性

2.2分配律

2.3图像缩放

2.4 图像旋转

2.5 周期性和共轭对称性

DFT的周期性：时时刻刻都要记住，对于而言，他的空域和频域始终都是沿着X和Y方向无限周期拓展的。

2.6 分离性

2.7 平均值

2.8 卷积理论

2.9 相关性理论

3. 快速傅里叶变换（FFT）

采用快速傅里叶变换（FFT）算法能使计算机计算离散傅里叶变换所需要的乘法次数大为减少，特别是被变换的抽样点数N越多，FFT算法计算量的节省就越显著。函数或信号可以透过一对数学的运算子在时域及频域之间转换。和傅里叶变换作用一样。

3.1 为什么需要快速傅里叶变换？

人们想让计算机能处理信号 但由于信号都是连续的、无限的，计算机不能处理，于是就有了傅里叶级数、傅里叶变换，将信号由时域变到频域，把一个信号变为有很多个不同频率不同幅度的正弦信号组成，这样计算机就能处理了，但又由于傅里叶变换中要用到卷积计算，计算量很大，计算机也算不过来，于是就有了快速傅里叶变换，大大降低了运算量，使得让计算机处理信号成为可能。快速傅里叶变换是傅里叶变换的快速算法而已，主要是能减少运算量和存储开销，对于硬件实现特别有利。

1 对u的M个值中的每一个都需进行M次复数乘法(将f(x)与 e− j2πux / M 相乘)和M-1次加法，即复数乘法和加法的次数都正比于M平方
2 快速傅里叶变换(FFT)则只需要Mlog2M次运算
FFT算法与原始变换算法的计算量之比是log2M/M，如M=1024≈10的3次方，则原始变换算法需要10的6次方计算，而FFT需 要10的4次计算，FFT与原始变换算法之比是1：100
3 只考虑一维的情况，根据傅里叶变换的分离性可知，二维傅里叶变换可由连续2次一维傅里叶变换得到

3.2 FFT算法基本思想

FFT算法基于一个叫做逐次加倍的方法。通过推导将原始傅里叶转换成两个递推公式：

3.3 FFT公式推导

假设M的形式是
M = 2^n， n为正整数。因此，M可以表示为：M = 2K 。将M=2K带入上式：

特性：

一个M个点的变换，能够通过将原始表达式分成两个部分来计算
通过计算两个（M/2）个点的变换。得Feven(u)和 Fodd(u)
奇部与偶部之和得到F(u)的前(M/2)个值
奇部与偶部之差得到F(u)的后(M/2)个值。且不需要额外的变换计算

3.4 归纳快速傅立叶变换的思想

（1）通过计算两个单点的DFT，来计算两个点的DFT， （2）通过计算两个双点的DFT，来计算四个点的DFT，…，以此类推
（3）对于任何N=2m的DFT的计算，通过计算两个N/2点的DFT，来计算N个点的DFT

4.0 傅里叶变换的讨论

频域(frequency domain)是指在对函数或信号进行分析时，分析其和频率有关部份，而不是和时间有关的部份，和时域一词相对。
时域是描述数学函数或物理信号对时间的关系。例如一个信号的时域波形可以表达信号随着时间的变化。若考虑离散时间，时域中的函数或信号，在各个离散时间点的数值均为已知。若考虑连续时间，则函数或信号在任意时间的数值均为已知。在研究时域的信号时，常会用示波器将信号转换为其时域的波形。
两者相互间的变换时域（信号对时间的函数）和频域（信号对频率的函数）的变换在数学上是通过积分变换实现。对周期信号可以直接使用傅立叶变换，对非周期信号则要进行周期扩展，使用拉普拉斯变换。



傅立叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实空间）上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点，则图像可由z=f(x,y)来表示。由于空间是三维的，图像是二维的，因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表示，这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。为什么要提梯度？因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况下也是没有。傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域点灰度值差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（差异/梯度越大，频率越高，能量越低，在频谱图上就越 暗。差异/梯度越小，频率越低，能量越高，在频谱图上就越 亮。换句话说，频率谱上越亮能量越高，频率越低，图像差异越小/平缓）。一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。频谱图，也叫功率图。




参考：
1 https://zhuanlan.zhihu.com/p/19763358
2 http://k.sina.com.cn/article_6385529085_17c9b70fd001006gjp.html?from=science
3 https://blog.****.net/qq_33208851/article/details/94834614
4 https://zhuanlan.zhihu.com/p/41455378