【小波分析】学习笔记（一）：基础概念和小波理论综述

学习资料来源：http://users.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtutorial.html

何为变换？

首先需要了解的是，为什么我们需要变换，以及什么是变换？

将数学变换应用于信号可以获得更多的不能从原始信号中获取的信息。在下面的教程中，我假定一个时域信号（a time−domain signal）为一个原始信号（a raw signal），一个经过任何数学变换方式进行过变换的信号为一个经过处理的信号（a processed signal）。

已存在大量的数学变换方式可以被应用到信号变换中去，其中，傅里叶变换是目前为止最为流行的方法。

实践应用中的大部分信号都是原始格式的时域信号。也就是说，无论这个信号是测量什么的，它都是一个关于时间的函数。换句话说，当我们绘制信号时，其中一个轴为时间（自变量），另外一个轴通常为振幅（因变量）。因此，当绘制时域信号时，需要获得信号的时间-振幅关系表示。但对于大多数信号处理应用来说，这些表示并不总是信号的最佳表示。大大多数情况下，信号的频率中包含着最重要的信息。基本上，信号的频谱（the frequency spectrum）就是信号的频率组成（频谱成分）。信号的频谱可以显示出信号中存在怎样的频率。

我们了解，频率和变化率相关。如果一个事物急速变化，我们就说它具有高频特征；反之，如果一个变量没有急速变化（例如，它的变化很缓慢），我们就说它具有低频特征；如果一个变量不会发生任何改变，则其频率为0。例如，日报的出版频率高于月刊。

频率以周期/秒(cycles/second)或者赫兹(Hz)为单位测量。例如，美国的日常电流频率为60Hz。那么，你在绘制电流图时，你会得到一个周期为1/50 s的正弦图。下图分别给出了3Hz、10Hz、50Hz的正弦波。

因此，如何测量频率 ？如何发现信号中的frequency content？答案是——傅里叶变换（FT）。
如果对一个时域信号进行了傅里叶变换，那么就可以获得这个信号的频率-振幅表示。换句话说，就可以得到包含频率轴和振幅轴的坐标系。这个图可以给我们展示，信号中每种频率的个数。

代表频率的轴的值从零开始延伸到无穷大。每一个频率值对应一个振幅值。例如，如果对家用电流进行傅里叶变换，将只会在50Hz处得到一个峰，因为电流信号只有一个50Hz的频率成分。实际情况中，信号通常会包含一个以上频率成分。下图给出了信号频率为50Hz的傅里叶变换。

值得注意的是，上图给出了两个小图，底部图是顶部图的一半。基于现在还不必知道的原因，实值信号的频谱总是对称的。顶部图展示了这一点。然而，因为对称部分是初始部分的镜像，所以，对称部分并没有提供更多的信息，因此，通常情况下，不会将对称部分展示出来。后续部分大多数与傅里叶变换相关的图中，本文只会给出对称频谱的前一半。

为什么需要频率信息？

通常情况下，时间范畴中不可以轻易获取的数据可从频率范畴内获取。

下面给出一个生物信号的例子。假定我们在观察一个心电图，心脏病专家对典型的健康心脏的心电图很熟悉，任何形状上的显著偏离都会被认为是病变的状态。

然而，原始时域信号并不总能明显地显示病变状态。心脏病专家分析心电图的传统方法是将时域心电信号记录在条形图表上。最近，新型心电记录仪使用频率信息来发现患者心脏是否发生病变。当分析信号的频率成分时，可以更容易地发现病变状况。

当然，这只是频率成分为什么有用的其中一个原因。 如今，傅里叶变换被应用于很多不同的行业，其中包含工程中的每一个分支。

虽然傅里叶变换是应用最广的变换方式（特别是在电气工程中），但是，它并不是唯一一种变换方式。还有很多其他的变换方式： Hilbert transform、short-time Fourier transform (more about this later)、Wigner distributions、the Radon Transform、our featured transformation、the wavelet transform。每一种变换方式都有其自身的应用领域，以及优缺点，小波变换也不例外。

为了更好地理解小波变换的需求，我们先更加详细地了解以下傅里叶变换。小波变换以及傅里叶变换均是可逆变换，也就是说，它们允许进行原始信号和转换信号之间的相互转化。时域信号中不存在频率信息，傅里叶转换信号中不存在时间信息。那么就会产生一个问题，同时获取时间和频率信息是必要的吗？

我们将会看到，答案取决于特定的应用和所需分析信号的性质。回想一下，傅里叶变换给出了信号的频率信息，也就意味着它可以告诉我们该信号中各种频率的个数，但是不能告诉我们特定频率在何时存在。当信号是平稳状态（stationary）时，这一信息是不需要的。

因为stationary在信号分析中具有重要意义，下面我们来更细致地了解一下它的意义。如果一个信号的频率不随时间变化，则称这种信号为平稳信号（stationarysignals）。在这种情况下，我们不需要知道频率组成在何时发生，因为它无时无刻不再发生。

以下面这一信号为例：

这是一个平稳信号，因为不论何时它都具有10,25,50和100Hz的频率。这个信号可以绘制成如下图：

下面是这一信号的傅里叶变换：

顶图是信号图的频谱 (thefrequencyspectrum)，底图将顶图放大。图中的四个谱分量分别代表10、25、50和100Hz的频率。不同于上述信号，下面给出一个非平稳信号。图1.7给出频率随时间变化的信号，这个信号被称为 the"chirp"signal。

下图给出另外一个例子，图1.8给出了一个在四个时间间隔中具有不同频率的信号。0~300ms的时间间隔的信号为频率为100Hz的正弦曲线，300~600ms的时间间隔的信号为频率为50Hz的正弦曲线，600~800ms的时间间隔的信号为频率为25Hz的正弦曲线，800~1000ms的时间间隔的信号为频率为10Hz的正弦曲线。

下面给出其傅里叶变换：

不需要在意图中的小 ripples （逐渐扩散的感觉)，从一个频率突然变成另外一个频率造成了它的产生。值得注意的是，高频分量的振幅比低频分量高。这是因为高频分量持续时间（300ms）比低频分量(200ms)长。（振幅的精确值不重要。）

对于图1.5所示的信号，考虑如下问题：

频率分量在何时发生？

答案是：不论何时，所有的频率分量都在发生。总是存在频率为10Hz，总是存在频率为50Hz，总是存在频率为100Hz。

对于非平稳信号，考虑其频率分量在何时发生？。

对于图1.8中的信号，第一个时间间隔中有着频率最高的分量，最有一个时间间隔有着频率最低的分量。对于图1.7中的信号，频率分量不断改变。因此，所有的频率的发生不是无时无刻存在。

对比图1.6和1.9，两图的相似之处是它们都存在频率为10、25、50和100Hz的四个频谱分量。除了纹波 （ripples）和振幅的差异，这两个频谱几乎是相同的，即使这两个信号的时域图完全不同。这两个信号具有同样的频率构成，但是第一个信号无论何时都包含有这四种频率分量，第二个信号只在特定的时间段中包含有特定某一种频率分量。因此，两个完全不同的信号它们的频谱图几乎一致是不合理的。可知，傅里叶变换对于非平稳信号不是一个有效的变换方法，但是，但我们只关心信号中存在何种谱分量，而不关心这些分量何时发生时，傅里叶变换可以被应用到非平稳信号中。

重点：傅里叶变换仅仅提供信号中存在何种频率分量的信息。

因此，当需要知道信号中的频率分量的时间定位信息时，我们需要另外一个给出信号TIME−FREQUENCYREPRESENTATION（时间-频率表示）信息的转换方式。

小波变换

小波变换可以给出信号的时间-频率表示。（还存在其他一些变换方法可以给出这样的信息：比如，short time Fourier transform,Wigner distributions,等等。）

通常情况下，任何瞬间下一个特殊的波谱产生都有可能具有很重要的意义。在这些情况下，知道这些特殊的波谱发生的时间段是很有益的。例如，在心电图中，事件相关电位的潜伏期（the latency of an event−related potential）是具有重大意义的（event−related potential是大脑对特定刺激（如闪光）的反应；反应的潜伏期为刺激触发与发出反应之间的时间间隔。）

小波变换可以同时提供信号的时间和频率信息，因此，他可以给出信号的时间-频率表示。

小波变换的运作过程很复杂，我们会在讲解完短时傅里叶变换STFT之后对小波变换进行讲解。小波变换的出现是为了优化STFT。

为了简化过程，我们忽略了时域信号的高通和低通滤波（过滤了信号中的高频和低频成分）。这个过程是不断重复的，每一次信号中具有某些频率的信息都会被删除。

这是其具体操作步骤：假定我们有一个信号，它的频率高达1000Hz。
第一阶段，信号通过高通和低通滤波器（滤波器应满足一定的条件，即admissibility condition）将其分为两部分——低通部分和高通部分。
第二阶段，我们选取其中一个部分或者是两部分均选取，重复执行上面的步骤。
这样的过程我们称之为，分解 (decomposition)。

假定我们选取低通部分，我们现在有三组数据，分别对应频率为0~250Hz、250~500Hz和500~1000Hz。
之后我们再次选取低通部分，并使其通过高通和低通滤波器。我们便获得四组数据，分别对应频率为0~150Hz、150~250Hz、250~500Hz和500~1000Hz。重复进行这样的操作，直到将信号分解到一个预定义的水平（a pre−defined certain level）。然后我们就得到了一组信号，他们代表着一个共同的信号，只是表示了这个信号种不同的频率。我们知道哪一个信号对应哪一个频率范围，并且如果我们把这些信号放在一起绘制成3D图，我很将会得到一个有时间轴、频率轴和振幅轴的坐标系。这幅图将会显示出何种频率出现于何时（这里需要提及一个概念——不确定性原理uncertainty principle——我们不能准确地知道某个频率存在于何时，但是我们可以知道某一频率范围存在于哪一时间段中。）

下面简要解释一下不确定原理：

不确定性原理是由Heisenbery建立和构造的，原理表明，一个粒子的位置和动量不能同时知道。这一原理如何应用到我们现在所学的内容中，下面给出了讲解：

在时间-频率平面上，某一个特定点的频率和时间信息是未知的。换句话说，在某个特定的时间点存在什么样的波谱成分是不可知的。我们所能做到的就是求知在某一特定时间段存在什么样的波谱成分。这是一个分辨率的问题，这就是为什么研究者们不使用STFT，转而使用小波分析的原因。STFT将时间按固定的间隔划分（分解波时的分辨率是固定的），然而小波分析给出了可变的分解间隔：
高频信号按时间分解，低频信号按频率分解。这意味着，和低频分量相比，某些高频分量能更好地（相对误差较小）按照时间定位；相反的，和高频分量相比，低频分量能更好地按照频率定位。

观察下图：

第一行展示出，对于高频，相同时间段内，其样本更多，因此，样本间时间间隔也就越短。换句话说，高频信号可以按照时间进行分解。然而对于对应低频的最后一行，相同时间段内，其样本很少，因此，低频信号并不能很好的按照时间分解。

在时间离散的情况下，信号的时间(分辨率？间隔？)resolution与上图相同，但是现在，频率信息在每个阶段也有不同的resolution。值得注意的是，低频信号按照频率定位更好；频率之间的间隔随着频率的增加而增加。

下面给出一些连续小波变换的例子。
首先获取一个正弦信号，这一信号在两个不同时间段分别具有不同的频率。低频部分发生在高频部分之前。

下图给出了这一信号的连续小波变换：

然而这张图中的频率轴以scale标注。scale的概念下一届会详细讲解，但是必须知道scale和频率成反比。因此，上图中的小峰对应信号中的高频，大峰对应低频，（且很明显，从时间来看，大峰在小峰之前）。