LEC3

6.0 概述

6.1载流子的产生与复合

分别令$G_{n0}​$Gn0​​和$G_{p0}​$Gp0​​为电子和空穴的产生率，单位是#/$cm^{3}·s​$cm3⋅s​。对于直接带间产生来说，电子和空穴总是成对出现的，因此一定有
$G_{n0}=G_{p0}$Gn0​=Gp0​
分别令$R_{n0}$Rn0​和$R_{p0}$Rp0​分别为热平衡状态下电子和空穴的复合率，则有
$R_{n0}=R_{p0}$Rn0​=Rp0​
对于热平衡状态来说，电子和空穴的浓度与时间无关，因此产生和复合的概率相等,即有：
$G_{n0}=G_{p0}=R_{n0}=R_{p0}$Gn0​=Gp0​=Rn0​=Rp0​

6.1.2 过剩载流子的产生与复合

$本章中常用到的一些符号$本章中常用到的一些符号

符号	定义
$n_{0}$n0​,$p_{0}​$p0​​	热平衡电子和空穴的浓度（与时间无关，通常也与位置无关）
n,p	总电子和空穴的浓度（可能是时间或位置的函数）
$\delta_{n}$δn​=$n-n_{0}$n−n0​	过剩电子的浓度（可能是时间或位置的函数）
$\delta_{p}$δp​=$p-p_{0}​$p−p0​​	过剩空穴的浓度（可能是时间或位置的函数）
$g^{'}_{n}$gn′​,$g_{p}^{'}​$gp′​​	过剩电子和空穴的产生率
$R_{n}^{'}$Rn′​,$R_{p}^{'}​$Rp′​​	g过剩电子和空穴的复合率
$\tau_{n0},\tau_{p0}$τn0​,τp0​	过剩少数载流子电子和空穴的寿命

假设高能光子射入半导体(外部作用)，从而导致价带中的电子被激发跃入导带,这样会产生电子-空穴对。这种额外的电子和空穴就被称为过剩电子和过剩空穴。

同样对于直接带间产生来说

一定有
$g_{n}^{'}=g_{p}^{'}$gn′​=gp′​

$n=n_{0}+\delta_{n}$n=n0​+δn​

$p=p_{0}+\delta_{p}$p=p0​+δp​

其中$n_{0}$n0​和$p_{0}$p0​为热平衡浓度，$\delta_{n}$δn​和$\delta_{p}$δp​为过剩电子和空穴浓度。
$于是，非平衡状态下就有np\not =n_{0}p_{0}\not=n_{i}^{2}$于是，非平衡状态下就有np̸​=n0​p0​̸​=ni2​

过剩载流子会在复合后重建热平衡，过剩电子复合率用$R_{n}^{'}$Rn′​表示，过剩空穴复合率用$R_{n}^{'}$Rn′​表示,有：

$R_{n}^{'}=R_{p}^{'}$Rn′​=Rp′​
小注入模型：过剩载流子浓度远远小于热平衡多数载流子的浓度

相反则是大注入

电子和空穴变化率与电子和空穴的浓度有关

电子
$\dfrac{dn(t)}{dt}=\alpha_{r}[n_{i}^{2}-n(t)p(t)]$dtdn(t)​=αr​[ni2​−n(t)p(t)]

$其中n(t)=n_0+\delta_n(t);p(t)=p_0+\delta_p(t)$其中n(t)=n0​+δn​(t);p(t)=p0​+δp​(t)

空穴
$\dfrac{d(\delta n(t))}{dt}=\alpha_{r}[n_{i}^{2}-(n_{0}+\delta n(t))(p_{0}+\delta p(t))]$dtd(δn(t))​=αr​[ni2​−(n0​+δn(t))(p0​+δp(t))]

$=-{\alpha_{r}}\delta_{n}(t)[(n_{0}+p_0)+\delta_n(t)]$=−αr​δn​(t)[(n0​+p0​)+δn​(t)]

$\alpha_rn_{i}^2$αr​ni2​是热平衡状态的生成率

小注入模型下$(\delta n(t)\ll p_0)$(δn(t)≪p0​)条件下p型半导体$(p_0 \gg n_0)$(p0​≫n0​)材料。则上式（空穴）有

$\dfrac{\delta n(t)}{dt}=-\alpha_rp_0\delta_n(t)$dtδn(t)​=−αr​p0​δn​(t)
解得
$\delta_{n}(t)=\delta_n(0)e^{-\alpha_{r}p_0t}=\delta_n(0)e^{-\dfrac{t}{\tau_{n0}}}$δn​(t)=δn​(0)e−αr​p0​t=δn​(0)e−τn0​t​
其中$\tau_{n0}​$τn0​​=$(\alpha_{r}p_{0})^{-1}​$(αr​p0​)−1​是小注入的一个常量。上式描述了过剩少数载流子电子的衰减，且$\tau_{n0}​$τn0​​通常代表过剩少数载流子电子的寿命。(此处的$\tau​$τ​与上一章的无关)

直接带间复合，过剩多数载流子空穴与过剩少数载流子电子的复合率相等，对于p型材料有：

$R_{n}^{'}=\dfrac{-d(\delta_n(t))}{dt}=+\alpha_rp_0\delta_n(t)=\dfrac{\delta_n(t)}{\tau_{n0}}$Rn′​=dt−d(δn​(t))​=+αr​p0​δn​(t)=τn0​δn​(t)​

小注入模型下的n型半导体,少数载流子空穴的衰减时间常量为$\tau_{p0}=(\alpha_rn_0)^{-1}$τp0​=(αr​n0​)−1,$\tau_{p0}​$τp0​​通常代表过剩少数载流子空穴的寿命。

$R_{n}^{'}=R_{p}^{'}=\dfrac{\delta_n(t)}{\tau_{p0}}$Rn′​=Rp′​=τp0​δn​(t)​

过剩载流子的产生率不是电子或空穴浓度的函数。一般情况下，产生率和复合率是空间坐标和时间的函数

6.2 过载载流子的性质

空穴在单位时间内的净增量

加上空穴的产生率和复合率则有电子和空穴的总增加量(即一维连续性方程)

以空穴为例上式$p$p为空穴密度,右边第一项是单位时间内空穴流引起的空穴增加量，第二项是单位时间内由于产生效应生成的空穴增加量，最后一项是单位时间内复合效应导致的空穴减少量​

空穴复合率由$p/\tau_{pt}$p/τpt​给出,其中$\tau_{pt}$τpt​包括热平衡载流子寿命以及过剩载流子寿命。

一维空穴电流密度在电场强度比较小时，可化简：
$J_n\approx qD_n\dfrac{\partial n}{\partial x}$Jn​≈qDn​∂x∂n​

$J_p\approx -qD_p\dfrac{\partial p}{\partial x}$Jp​≈−qDp​∂x∂p​

故一维连续性方程可以化简为:

$\dfrac{\partial p}{\partial t}=D_p\dfrac{\partial^2 p}{\partial x^2}+g_p-\dfrac{p}{\tau_{pt}}$∂t∂p​=Dp​∂x2∂2p​+gp​−τpt​p​

$\dfrac{\partial n}{\partial t}=D_n\dfrac{\partial^2 n}{\partial x^2}+g_n-\dfrac{n}{\tau_{nt}}$∂t∂n​=Dn​∂x2∂2n​+gn​−τnt​n​
对于均匀掺杂的半导体，$n_0$n0​和$p_0$p0​与空间坐标无关

过剩少子扩散方程可以写成：

此式需要化简，不能直接解出，在不同条件下可以去除部分项。

化简条件

扩散长度

$L_p=\sqrt{D_p\tau_p},L_n=\sqrt{D_n\tau_n}$Lp​=Dp​τp​​,Ln​=Dn​τn​​

稳态空间相关性

$\Delta p(x)=\Delta p(0)exp(-\dfrac{x}{L_p})$Δp(x)=Δp(0)exp(−Lp​x​)

过剩载流子从x=0扩散，到x=$\infty$∞时衰减为0