多传感器融合中的观测信号表示

现在在研究多传感器数据融合这个领域，大补一下基础理论。本文大量涉及通信原理，信号与系统，信号检测与估计，概率和随机过程的先修知识，由于避免不了遗忘，复习过程极其痛苦······，特此梳理清晰，以飨后来者。

要进行数据融合，得有数据，数据就是观测信号，一般是离散时间序列。

而实际中的观测信号由于信道中的各种干扰（如电阻和传输介质中电子的随机运动产生的热噪声，宇宙噪声，电子不均匀发射引起的散弹噪声等），一定都有各种畸变，我们要做的是：首先提取出失真的观测信号中的有用信息，然后根据一定的算法将多方信息进行融合，以便于做出更准确的判断，指导，决策 。

信号的分类多种多样，比如连续离散，周期非周期，能量信号和功率信号···如果根据信号中参量的特性分类则：

• 信号中所有参量都已知，信号只是时间的函数，则称为确知信号。
• 若有参量未知，则称为参量信号。
• 若有参量随机，则称为随机参量信号。实际中，我们主要接触的就是这类信号，其振幅，相位，到达时间可能都是随机的。比如：随机振幅信号，随机频率信号，随机相位信号，随机到达时间信号（TDOA不同）。 也可能多个参数都随机。

(TDOA:Time Delay of Arrival，到达时间延迟)

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下面介绍随机参量信号和随机噪声，通信系统接收信号的具体数学表示。

1. 随机振幅信号

既然振幅是随机的，那么就符合一定的统计特性。通常，比较符合实际的统计特性假设是瑞利分布（Rayleigh Distribution）：
$p(a)=\left\{ \begin{aligned} &\frac{a}{\sigma_a^2}e^{-\frac{a^2}{2\sigma_a^2}}&,&a\geq0\\ &0&,&otherwise \end{aligned} \right. \tag1$p(a)=⎩⎪⎨⎪⎧​​σa2​a​e−2σa2​a2​0​,,​a≥0otherwise​(1)

此图仅供看个概貌。。。

• 两个正交高斯噪声信号之和的包络服从瑞利分布。
  而两个正交高斯噪声信号之和一定是窄带高斯噪声，所以窄带高斯噪声的包络是服从瑞利分布的。而包络就是振幅呀，所以通信接收信号的振幅服从瑞利分布。

• 通信发送和接受的信号都是窄带信号。因为热噪声（是白噪声）和解调后的信号在接收机里会被滤波，所以一定是带限的。
  因此论文和研究中动不动就假设接收噪声是白噪声实际上带来的误差可能会很大，因为根本不符实际，但信道中的噪声假设为白噪声是可以的。

• 此外，一定要记住，通信系统中的接收机噪声，主要来源于接收机内部的热噪声，就是各种电子元件里的电子随机运动产生的扰动电压，并不是从信道里跑进来的！！这是很多人包括以前的我理解的误区。

• 一般认为不同信道的噪声统计特性正交，而无线通信的多径分量经过损耗和衰减，信噪比极低，信号被淹没，可以认为是统计特性正交的窄带高斯噪声，所以多径分量通常被认为是服从瑞利分布的。
  如果再叠加上主信号则就服从莱斯分布了，后文详述。
  $E(A)=\int_{-\infty}^\infty ap(a)da=\int_{0}^\infty\frac{a^2}{\sigma_a^2}e^{-\frac{a^2}{2\sigma_a^2}}da=\int_{0}^\infty -ade^{-\frac{a^2}{2\sigma_a^2}}$E(A)=∫−∞∞​ap(a)da=∫0∞​σa2​a2​e−2σa2​a2​da=∫0∞​−ade−2σa2​a2​
  $=-ae^{-\frac{a^2}{2\sigma_a^2}}|_0^{\infty}+\int_{0}^\infty e^{-\frac{a^2}{2\sigma_a^2}}da=0+\sqrt2\sigma_a\int_{0}^\infty e^{-(\frac{a}{\sqrt2\sigma_a})^2}d\frac{a}{\sqrt2\sigma_a}=\sqrt{\frac \pi2}\sigma_a$=−ae−2σa2​a2​∣0∞​+∫0∞​e−2σa2​a2​da=0+2​σa​∫0∞​e−(2​σa​a​)2d2​σa​a​=2π​​σa​
  $\approx1.2533\sigma_a$≈1.2533σa​

仔细说一下最后一步。因为正态分布的pdf是：
$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}exp(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2})$f(x)=2πσ2​1​exp(−2σ2(x−μ)2​)
而标准正态（$\mu=0,\sigma^2=1$μ=0,σ2=1）的pdf是：
$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp(-\frac{x^2}{2})$f(x)=2π​1​exp(−2x2​)
对任意pdf在整个区间上积分，结果都是1，所以对标准正态pdf积分：
$\int_{-\infty}^\infty f(x)dx=\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp(-\frac{x^2}{2})dx=1$∫−∞∞​f(x)dx=∫−∞∞​2π​1​exp(−2x2​)dx=1
所以：
$\int_{-\infty}^\infty exp(-\frac{t^2}{2})dt=\sqrt{2\pi}$∫−∞∞​exp(−2t2​)dt=2π​
简单换元就得到：
$\int_{-\infty}^\infty e^{-t^2}dt=\sqrt{\pi}$∫−∞∞​e−t2dt=π​
这是个偶函数，所以：
$\quad \int_{0}^\infty e^{-t^2}dt=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$∫0∞​e−t2dt=2π​​

既然均值都已经算了，还是算一下方差吧：
$D(A)=E(A^2)-[E(A)]^2=\int_{0}^\infty\frac{a^3}{\sigma_a^2}e^{-\frac{a^2}{2\sigma_a^2}}da-[\sqrt{\frac \pi2}\sigma_a]^2=\int_{0}^\infty-a^2de^{-\frac{a^2}{2\sigma_a^2}}-\frac{\pi\sigma_a^2}{2}$D(A)=E(A2)−[E(A)]2=∫0∞​σa2​a3​e−2σa2​a2​da−[2π​​σa​]2=∫0∞​−a2de−2σa2​a2​−2πσa2​​
$=-a^2e^{-\frac{a^2}{2\sigma_a^2}}|_{0}^{\infty}+\int_{0}^\infty e^{-\frac{a^2}{2\sigma_a^2}}da^2-\frac{\pi\sigma_a^2}{2}=0-2\sigma_a^2e^{-\frac{a^2}{2\sigma_a^2}}|_{0}^{\infty}-\frac{\pi\sigma_a^2}{2}=2\sigma_a^2-\frac{\pi\sigma_a^2}{2}$=−a2e−2σa2​a2​∣0∞​+∫0∞​e−2σa2​a2​da2−2πσa2​​=0−2σa2​e−2σa2​a2​∣0∞​−2πσa2​​=2σa2​−2πσa2​​
$\approx0.4292\sigma_a^2$≈0.4292σa2​

窄带信号加**窄带(! ! !)**高斯噪声一般呈现莱斯分布 (Rician Distribution)的概率特性。实际中的通信信号大多都是窄带信号。

必须是窄带噪声！！！所以白噪声不可以。

窄带随机过程: 频带范围$\Delta f$Δf远小于中心频率$f_c$fc​，且$f_c$fc​远离零频率的窄带随机信号或窄带噪声.

窄带信号: 带宽$\Delta f &lt;&lt; f_0$Δf<<f0​的信号，一般$\frac{\Delta f}{f_0}&gt;10$f0​Δf​>10, $f_0$f0​是中心频率，这里不要求中心频率远离零频。
因为噪声的频率都低不了才限制窄带噪声一定是窄带高频噪声的。

莱斯分布也称为广义的瑞利分布：

$p(x)=\frac{x}{\sigma^2}I_0(\frac{xA_s}{\sigma^2})exp(-\frac{x^2+A_s^2}{2\sigma^2})\tag2$p(x)=σ2x​I0​(σ2xAs​​)exp(−2σ2x2+As2​​)(2)
其中
$I_0(\frac{xA_s}{\sigma^2})=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi exp(\frac{xA_s}{\sigma^2}cos\theta)d\theta\tag3$I0​(σ2xAs​​)=2π1​∫−ππ​exp(σ2xAs​​cosθ)dθ(3)

• $x$x是信号加噪声的包络；$A_s$As​是主信号的幅度峰值；$\sigma^2$σ2是多径信号的功率；$I_0()$I0​()是0阶修正的第一类贝塞尔函数。
• 图中$d=\frac{A_s}{\sigma}$d=σAs​​,它的平方和信噪比SNR正相关。$K=\frac{d^2}{2}$K=2d2​被称为莱斯因子，它反映了信道质量，在无线通信的各种计算中都要用到。
• 由K可以完全确定莱斯分布。
• 当K趋近于0时，莱斯分布就退化为瑞利分布。
• 莱斯分布是主信号（直射信号）和多径信号分量（服从瑞利分布）的和。所以无线通信中接收信号的包络一般都是服从莱斯分布的，因为由于多径效应，接收信号一定是直射信号和多径信号的叠加。

2. 随机相位信号

比较符合实际的统计特性假设是均匀分布：
$p(\theta)=\left\{ \begin{aligned} &amp;\frac{1}{2\pi}&amp;,&amp;-\pi\leq\theta\leq\pi\\ &amp;0&amp;,&amp;otherwise \end{aligned} \right. \tag4$p(θ)=⎩⎨⎧​​2π1​0​,,​−π≤θ≤πotherwise​(4)

更通用的随机相位分布模型，由维特比Viterbi提出。该模型可以描述从完全确定的$\delta$δ函数分布，到完全不确定的均匀分布。其分布规律只受一个参数$v$v 控制。

$p(\theta|v)=\frac{e^{vcos\theta}}{2\pi I_0(v)},-\pi\leq\theta\leq\pi \tag5$p(θ∣v)=2πI0​(v)evcosθ​,−π≤θ≤π(5)
其中$I_0(v)$I0​(v)是零阶修正贝塞尔函数，是（5）的归一化因子。$I_0(v)=1+\sum_{m=1}^{\infty}(-1)^m\frac{(v/2)^{2m}}{(m!)^2}\tag 6$I0​(v)=1+m=1∑∞​(−1)m(m!)2(v/2)2m​(6)

Note:信号的振幅和相位同时是随机参量的情况很常见.

3. 窄带噪声

• 噪声都是随机的
• 且一般频率都很高
• 且噪声都是随机过程，因为它的取值随着时间变化，且同一时刻有多种取值。

而就像前文说的，窄带噪声是指：功率谱密度只在很窄的频率范围内存在，一般频率很高的噪声。即高频带限噪声。

特别地：
设噪声$n(t)$n(t) 是零均值方差为$\sigma^2$σ2的平稳高斯随机过程，可以推得正交随机分量$n_R(t)$nR​(t)和$n_I(t)$nI​(t)也是均值为零、方差为$\sigma^2$σ2的高斯噪声，而且二者是不相关的。
$n(t)=a_n(t)cos[w_0t+\theta_n(t)]=n_R(t)cosw_0t-n_I(t)sinw_0t$n(t)=an​(t)cos[w0​t+θn​(t)]=nR​(t)cosw0​t−nI​(t)sinw0​t

4. 通信接收信号——窄带信号叠加窄带高斯噪声

信号$s (t)$s(t) 是频率为$w_0$w0​，振幅为$a_s$as​，相位为$\theta_s$θs​的余弦信号，叠加窄带高斯噪声$n(t)$n(t),得到接收信号$x(t)$x(t):
$x(t)=s(t)+n(t)=[a_scos\theta_s+n_R(t)]cosw_0t-[a_ssin\theta_s+n_I(t)]sinw_0t=$x(t)=s(t)+n(t)=[as​cosθs​+nR​(t)]cosw0​t−[as​sinθs​+nI​(t)]sinw0​t=
$x_R(t)cosw_0t+x_I(t)sinw_0t$xR​(t)cosw0​t+xI​(t)sinw0​t
接收信号的包络和相位：
$a_x(t)=\sqrt{x_R^2(t)+x_I^2(t)}$ax​(t)=xR2​(t)+xI2​(t)​
$\theta_x(t)=\arctan(\frac{x_I(t)}{x_R(t)})$θx​(t)=arctan(xR​(t)xI​(t)​)

我们假设信号$s(t)$s(t)是完全已知的,则频率$w_0$w0​，振幅$a_s$as​，相位$\theta_s$θs​都已知，我们来推导一下包络$a_x(t)$ax​(t)的概率密度函数，就可以发现确实是莱斯分布。

不加证明地给出，包络和相位的联合概率密度函数（已隐去时间变量t）是：
$p(a_x,\theta_x|a_s,\theta_s)=\frac{a_x}{2\pi\sigma_n^2}exp(-\frac{a_x^2+a_s^2-2a_xa_scos(\theta_x-\theta_s)}{2\sigma_n^2}),a_x\geq0,-\pi\leq\theta_x\leq\pi$p(ax​,θx​∣as​,θs​)=2πσn2​ax​​exp(−2σn2​ax2​+as2​−2ax​as​cos(θx​−θs​)​),ax​≥0,−π≤θx​≤π
假设相位满足均匀分布，对相位积分，求得包络的边缘pdf：
$p(a_x|a_s,\theta_s)=\int_{-\pi}^\pi p(a_x,\theta_x|a_s,\theta_s)d\theta_x=$p(ax​∣as​,θs​)=∫−ππ​p(ax​,θx​∣as​,θs​)dθx​=
$\frac{a_x}{\sigma_n^2}exp(-\frac{a_x^2+a_s^2}{2\sigma_n^2}).\frac{1 }{2\pi}\int_{-\pi}^\pi exp(\frac{a_xa_scos(\theta_x-\theta_s)}{\sigma_n^2})d\theta_x=$σn2​ax​​exp(−2σn2​ax2​+as2​​).2π1​∫−ππ​exp(σn2​ax​as​cos(θx​−θs​)​)dθx​=
$\frac{a_x}{\sigma_n^2}exp(-\frac{a_x^2+a_s^2}{2\sigma_n^2})I_0(\frac{a_xa_s}{\sigma_n^2})$σn2​ax​​exp(−2σn2​ax2​+as2​​)I0​(σn2​ax​as​​)
这就是莱斯分布。

推导用到：$I_0(v)=\frac{1 }{2\pi}\int_{-\pi}^\pi exp(vcos\theta)d\theta$I0​(v)=2π1​∫−ππ​exp(vcosθ)dθ

本文只写了部分的连续信号，且实际中接收的信号都会采样得到离散序列，所以虽然本文很长很臭，但这只是开始。