068-地固系下的粗对准方案

首先设定如下坐标系：地心地固坐标系(e系)、载体坐标系(b系)、初始时刻的与e系重合并凝滞的坐标系e0系以及初始时刻与b系重合并凝滞的坐标系b0系，则b系到e系的方向余弦阵可做如下链式分解：

$C_b^e = C_{e0}^{e} * C_{b0}^{e0} * C_b^{b0}$

因为：

$\dot C_{e}^{e0} = C_{e}^{e0} (\omega_{ie}^e ×) = C_{e}^{e0} \Omega_{ie}^e$

可得：

$C_{e}^{e0} = I + \frac{sin(\omega_{ie}t)}{\omega_{ie}t}\Omega_{ie}^e t + \frac{1-cos(\omega_{ie}t)}{(\omega_{ie}t)^2}(\Omega_{ie}^e t)^2$

其中： $\omega_{ie} = |\omega_{ie}^e|$ ，t为从开始到现在的时间长度。
因为：

$\dot C_{b}^{b0} = C_{b}^{b0} (\omega_{b0b}^b ×) = C_{b}^{b0} (\omega_{ib}^b ×) = C_{b}^{b0} \Omega_{ib}^b$

可得：

$C_{b}^{b0} = I + \frac{sin(\omega_{ib}t)}{\omega_{ib}t}\Omega_{ib}^b t + \frac{1-cos(\omega_{ib}t)}{(\omega_{ib}t)^2}(\Omega_{ib}^b t)^2$

其中： $\omega_{ib} = |\omega_{ib}^b|$ ，t为从开始到现在的时间长度。但是应用中：

$C_{b}^{b0} (t) = C_{b}^{b0} (t-1) [I + \frac{sin(\omega_{ib} \Delta t)}{\omega_{ib} \Delta t}\Omega_{ib}^b \Delta t + \frac{1-cos(\omega_{ib} \Delta t)}{(\omega_{ib} \Delta t)^2}(\Omega_{ib}^b \Delta t)^2]$

此时等效旋转矢量也为 $\Delta t$ 时间内的。不需限制 $\omega_{ib}^{b}$ 大小，具有很强的抗角运动的能力；

下面计算 $C_{b0}^{e0}$
将e系中的重力矢量投影到e0l系：

$g^{e0} = C_{e}^{e0} g^{e}$

将b系中的比力投影到b0系：

$f_{sf}^{b0} = C_{b}^{b0} f_{sf}^b$

容易得到：

$C_{b0}^{e0} f_{sf}^{b0} = -g^{e0}$

即：

$C_{b0}^{e0} C_{b}^{b0} f_{sf}^b = -C_{e}^{e0} g^{e}$

实际上加计测量的比力总是含有误差，对准过程中多多少少会有载体线加速度误差，所以上式应为：

$C_{b0}^{e0} (C_{b}^{b0} f_{sf}^b - \nabla^{b0} ) = -C_{e}^{e0} g^{e}$

为了消除上述误差的影响，考虑对其进行积分，于是一次积分：

$\tag{1} C_{b0}^{e0} F^{b0} = G^{e0}$

其中： $F^{b0} = \int_0^{\Delta t} (C_{b}^{b0} f_{sf}^b - \nabla^{b0}) dt$ ， $G^{e0} = -\int_0^{\Delta t} C_{e}^{e0} g^{e} dt$
从开始到现在经过的时间为t，选取0.5t为另一矢量： $F^{b0}_{0.5t}, G^{e0}_{0.5t}$ ，得到基于速度的双矢量定姿：

$C_{b0}^{e0} \begin{bmatrix} \frac{F^{b0}}{|F^{b0}|} & \frac{F^{b0}×F^{b0}_{0.5t}}{|F^{b0}×F^{b0}_{0.5t}|} & \frac{F^{b0}×F^{b0}_{0.5t}×F^{b0}}{|F^{b0}×F^{b0}_{0.5t}×F^{b0}|} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{G^{e0}}{|G^{e0}|} & \frac{G^{e0}×G^{e0}_{0.5t}}{|G^{e0}×G^{e0}_{0.5t}|} & \frac{G^{e0}×G^{e0}_{0.5t}×G^{e0}}{|G^{e0}×G^{e0}_{0.5t}×G^{e0}|} \end{bmatrix}$

得到：

$C_{b0}^{e0} = \begin{bmatrix} \frac{G^{e0}}{|G^{e0}|} & \frac{G^{e0}×G^{e0}_{0.5t}}{|G^{e0}×G^{e0}_{0.5t}|} & \frac{G^{e0}×G^{e0}_{0.5t}×G^{e0}}{|G^{e0}×G^{e0}_{0.5t}×G^{e0}|} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{F^{b0}}{|F^{b0}|} & \frac{F^{b0}×F^{b0}_{0.5t}}{|F^{b0}×F^{b0}_{0.5t}|} & \frac{F^{b0}×F^{b0}_{0.5t}×F^{b0}}{|F^{b0}×F^{b0}_{0.5t}×F^{b0}|} \end{bmatrix} ^{-1}$

另外，还可以对公式(1)再进行一次积分，得到基于位置的双矢量定姿，在此不再过多介绍。可以看出，两次积分使得误差项 $\nabla^{b0}$ 几乎可以忽略，即增强了抗线晃动的能力。

测试

另将对准期间的IMU数据作平均处理后,选取e系的重力与地球自转角速度作为双矢量，选取b系的比力与角速度作为双矢量，进行对准。载体处于准静止状态，即没有进行晃动模拟，对准时长为20分钟，对准结束后继续静止250s，进行惯导解算。本方案的对准结果如下：

基于惯性系的对准方案解算结果如下：

对比两幅图可以看出，基于惯性系的对准方案并没有取得很好的对准效果，甚至在X方向的漂移误差很大，所以对于准静态的载体而言，基于惯性系的对准方案并不合适，另外该方案计算量较大，降低了可用性。但是对于晃动的载体而言，基于惯性系的这种抗晃动的对准方案应该会具有很大的优势，但是没有实践过便没有发言权。
另外，这两种对准方法只是粗对准的方案，对于精度要求高的惯导，还是要进行精对准。看过一些文献，基于速度量测的卡尔曼滤波算法会有比较高的精度，后面会进行尝试。

参考：
[1]严恭敏,翁浚.捷联惯导算法与组合导航原理讲义.
[2]严恭敏,白亮,翁浚,秦永元.基于频域分离算子的SINS抗晃动干扰初始对准算法[J].宇航学报,2011,32(07):1486-1490.

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测试

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