泊松分布的特征与应用（概统2.应用）

泊松分布的特征与应用（概统2.应用）

由前面 离散型随机变量，二项分布，泊松分布，指数分布，几何分布（概统2.知识）
可知泊松分布的应用类型，第一类是单位时间内按固定频率发生的事件，此时固定频率就是常数λ$\lambda$; 第二类是n很大，p很小，n*p等于一个常数，就是λ$\lambda$。

泊松分布的分布律公式：
P {X=k} =(λ)kk!e−λ$\frac{(\lambda {)}^k}{k!}{e}^{-\lambda }$, k=0,1,2,…
称X为服从参数为λ$\lambda$的泊松分布，记为 X~π(λ)$\pi (\lambda )$ ，或者 X~P(λ)$P(\lambda )$

泊松分布的图形示例：

我们再来温习一下：

泊松分布的特征：

1）泊松分布的图形只取决于平均数λ$\lambda$
2）当λ$\lambda$很小时，图形是很偏的，但当λ$\lambda$增大时，图形逐渐趋向正态，当λ$\lambda$=20时，泊松分布接近正态，当λ$\lambda$>50时，可以认为是正态分布。
3）由泊松分布的图形示例，可以看得出来，k值在λ$\lambda$附近时，概率最大，
即k=λ$k=\lambda$，P{X=k}等于峰值
4）泊松分布具有可加性
5）泊松分布的均值和方差相等。
均值 = λ$\lambda$ = n*p，
方差根 = σ$\sigma$=np(1−p)−−−−−−−−√$\sqrt{np(1-p)}$
当 p→0$p\to 0$时，(1−p)→1$(1-p)\to 1$
σ$\sigma$ = np(1−p)−−−−−−−−√$\sqrt{np(1-p)}$ = np−−√$\sqrt{np}$
因此 λ=σ2$\lambda ={\sigma }^2$
关于泊松分布均值和方差的推导，可以参考

泊松分布的期望和方差推导

泊松分布的应用实例：

[实例1] 某厂有300台设备，每台设备发生故障的概率是0.01，每名工人一个时间只能维修一台设备，问需要配备多少名维修工人，才能保证事故发生不能被及时维修的概率小于1%？
解：
n=300,p=0.01, n*p =300*0.01=3; n很大，p很小，n*p=常数，符合泊松分布的要求；
λ=n∗p=300∗0.01=3;$\lambda =n\ast p=300\ast 0.01=3;$
分析：题目要求:事故发生不能被及时维修的概率小于1%，即小于0.01。
也就是说，事故发生时能够得到及时维修的概率需要大于等于99%，即大于等于0.99；
该问题就是求 ”置信区间“ 的问题。

看一下泊松分布图示意，假设有一个点标记为kα$k_{\alpha }$
在k取0~kα$k_{\alpha }$的区间中(右连续)，概率总和是大于等于0.99，
在k取大于kα$k_{\alpha }$的区间的时候，概率总和小于等于0.01，
就是说kα$k_{\alpha }$是0.99概率和0.01概率的分界点。

k取0~kα$k_{\alpha }$的区间概率=P(0<=X<=kα)$P(0<=X<=k_{\alpha })$ = ∑k<=kαk>=03kk!∗e−3$\sum _{k>=0}^{k<=k_{\alpha }}\frac{3^k}{k!}\ast e^{-3}$ >=0.99

也可以通过计算 k>kα$k>k_{\alpha }$的概率<0.01，即：

P(0<=X<=kα)$P(0<=X<=k_{\alpha })$ = 1 - P(X=>kα)$P(X=>k_{\alpha })$

= 1 - ∑k<∞k>kα3kk!∗e−3$\sum _{k>k_{\alpha }}^{k<\mathrm{\infty }}\frac{3^k}{k!}\ast e^{-3}$ >= 0.99 ;

P(X=>kα)$P(X=>k_{\alpha })$=∑k<∞k>kα3kk!∗e−3$\sum _{k>k_{\alpha }}^{k<\mathrm{\infty }}\frac{3^k}{k!}\ast e^{-3}$ <0.01 ;

最后，通过计算，可得 ，
可得 kα$k_{\alpha }$ = 8; 即0.99与0.01的概率的分界点在k=8处，也就是说0.99的置信区间在k<=8以内；

当配备了8名维修工的时候，就能满足99%的修理任务。