双重差分法（DID）

假设我们有一个广告方案P，没有经过ABTest直接在在一些城市放量了，怎么来判断这个广告的有效性（gmv）呢？能不能直接比较投放广告的城市和没有投放广告的城市之间gmv的差值呢
$\Delta_{gmv}=avg(投放广告城市的gmv)-avg(没有投放广告城市的gmv)$Δgmv​=avg(投放广告城市的gmv)−avg(没有投放广告城市的gmv)

这样可以得到两类城市之间gmv的差值。这样其实有个问题，万一投放活动的城市本身gmv就高呢？比如北京和杭州，两者之间存在天然的差别，直接这么比较肯定不合理。因此我们就想能不能观察两期，第一期是没有投放活动之前，第二期是投放活动之后

这里可以看到对于没有投放广告的杭州，他的一个自然变化是上涨了1.5，但是对于投放广告的北京，反而只上涨了0.5，这个一个不幸的消息，广告反而抑制了gmv的增长。
是不是感觉很奇怪，苦思冥想的策略怎么就没有效果呢？真的是这个样子吗？其实不然，北京的gmv已经非常高了，要想再提高非常的困难，反观杭州，gmv的起点非常底，上涨的空间很大，即使什么都不做gmv都上涨了很高。所以在这样的对比是非常的不合理的。（想一想，同样可以找到很多自然上涨不如北京的城市，比如自身就是搞gmv的上海市）。这里最关键的一点是，北京和杭州的自然上涨趋势是不一致的。

假设咱们有一个平行世界，在咱们的世界中，北京投放了广告，平行世界中没有投放广告，可以看到，红色的线是北京自然增长的，咱们的活动是有效的。也可以看到北京和杭州的自然增长趋势非常的不同。
所以这就要求咱们在做对比的时候，选择的对照组一定要跟实验组有相同的增长趋势，怎么找到这样的城市呢？可以通过聚类或者一些其他的规则。比如都有较高的gmv，城市体量差不多，运营时间相差不多等等，通过这些特征我们可以把一些城市给聚集起来，认为他们是一类，未来有相同的增长趋势。
上面依然不是正常的AA测试，为什么这么说呢？假如咱们找到了上海，深圳，广州这三个城市跟北京是相似的。并且这三个城市都没有进行投放，再假设上海增幅是0.1，深圳增幅是0.15，广州增幅是0.2，如果选择了上海，广告的增益就是0.4（0.5-01），深圳是0.35，广州是0.3，为了证明广告的效果好，我肯定直接选择跟上海对比，这就很值得品味了。

DID数学公式

我们假设Pi=1表示在这个城市投放了广告，Pi=0表示没有投放广告。
$\Delta=E(Y|Pi=1)-E(Y|Pi=0)$Δ=E(Y∣Pi=1)−E(Y∣Pi=0)

$Y_{it}=\alpha P_i+\beta T + \gamma (P_i * T)+\delta_{it}$Yit​=αPi​+βT+γ(Pi​∗T)+δit​