分段多项式

为什么分段

线性模型虽然方便，且理论推导层面都很成熟了，但是线性模型预测不足的缺点也是显而易见的。
从线性回归到非线性回归，很自然的推广就是多项式回归，但是有时候想得到良好的拟合曲线，就要增加多项式的阶数，然而，随着阶数越高会出现更多的问题。分段多项式很好的解决了这个问题。
顾名思义，分段多项式就是将数据分段使用低阶的多项式进行拟合，从而很好的解决了多项式拟合的问题.

约束条件

当然分段进行多项式回归，是有一个结点处的约束问题的。

无约束

结点处没有约束，看图：

结点处连续

结点处连续，即 $f(C_{-}) = f(C_{+})$f(C−​)=f(C+​), C表示结点。
，如图：

结点处连续且一阶和二阶导相等

结点处连续其一阶和二阶导相等，在这个约束条件下的的拟合办法就叫三次样条，如图

结点处连续、一阶和二阶导相等、边界线性

样条的拟合方法已经有很好的性质了，但是只是在结点处有约束条件，所以，边界处会不稳定。为了解决这个问题，就在边界处施加了一个线性约束，即在边界区域拟合曲线是线性的（边界区域：($-\infty , C_1$−∞,C1​)和（$C_K,+\infty$CK​,+∞）,$C_1$C1​,$C_K$CK​指第一个结点和最后一个结点。）。自然三次样条的约束条件就是这样的。如图：

[1]: ESL-统计学习导论 基于R应用
[2]: The Elements of Statistical Learning