信息的表示和处理

        无符号（unsigned）编码基于传统的二进制表示法，表示大于或者等于零的数字；补码（two’s-complement）编码是表示有符号整数的最常见的方式，有符号整数就是可以为正或者负的数字；浮点数（floating-point）编码是表示实数的科学记数法的以二为基数的版本。

        整数的表示虽然只能编码一个相对较小的数值范围，但是这种表示是精确的；而浮点数虽然可以编码一个较大的数值范围，但是这种表示只是近似的。

 

信息存储

        计算机一般以8位为一个单位存储数据，我们称之为字节（byte），这是一个最小的可寻址的存储器单位。存储器的每个字节都由一个唯一的数字来标识，称为它的地址（address），所有可能地址的集合称为虚拟地址空间（virtual address space）。

 

十六进制与十进制的转换

    如下：将十进制314156转换成十六进制，转换成十六进制之后是0X4CB2C。过程如下：

字与数据大小

        每台计算机都有一个字长，指明整数与指针数据的标称大小。对于字长为w位的机器而言，虚拟地址的范围为0~2^w-1，程序最多能访问2^w个字节。下图为C语言各个数据类型的字节数。注意红框标出的数据类型。

字节顺序（大端小端）

不同的计算机，在计算机中存放方式并不一样。一种是最低有效字节在最前面，称之为小端模式（little endian）；另外一种是最高有效位在最前面的方式，称之为大端模式（big endian）。具体如下图所示，对于十六进制数0X01234567，它存放的起始地址是0x100。

布尔代数

布尔代数就是我们在数电当中数据的真值表，有以下四种运算：

<1> ~对应于逻辑运算的NOT

<2> &对应于逻辑运算的AND

<3> |对应于逻辑运算OR

<3> ^对应于逻辑运算亦或（即相同的两个数为0，不一样的为1）

逻辑运算表如下：

布尔运算的那些符号放在C语言就叫做位级运算。

 

C语言中的逻辑运算

        C语言提供三种逻辑运算符，分别是||、&&、！，分别对应于命题逻辑中的OR、AND、NOT，注意区别逻辑运算和位级运算，在逻辑运算中，运算的结果只有TRUE和FALSE，也就是对应于1和0两个数字；而位级运算对应的是每一位具体的值。位级运算（上图）与逻辑运算（下图）如下所示。

C语言中的移位运算

        C语言中的移位运算分为逻辑移位和算数移位，都用x>>k（x<<k）这样的表达式。如果是逻辑右移，则左端补k个0，如果是算数右移，则左端补k个最高有效位的值。具体操作如下图。

        注意图中的值，参数x是8位的，只是将两个值放在了一起。

        还有在C语言中，对于无符号数据（也就是以限定词unsigned声明的整型数据），右移必须是逻辑的。而对于有符号数据（默认的声明的整型数据），算数或逻辑的都可以。

        另外，对于Java的右移有明确的定义。表达式x>>k会将x算数右移k个位置，而x>>>k会对x做逻辑右移。

 

整数的表示

整型数据类型

C语言中支持多种整型数据类型，具体如下，分别在32位和64位机器上。

C与C++都支持有符号（默认）和无符号数，Java只支持有符号数。

 

无符号数的编码

CSAPP这本书中用到了很多函数，具体如下所示：

具体例子如下：

利用等比数列求和公式非常容易得到：

补码编码

所谓补码编码就是将一个十进制有符号数表示为二进制时，用它的补码表示。其中最高位是1，表示负数。我们的函数是B2T_w（Binar to Two’s-complement）来表示：

具体例子如下：

它的最小值为：

它的最大值为：

那么一个数的补码是怎么来的呢？

对于一个整数，比如1，它的二进制表示应该是00000001b，那么它的反码就是111111110b，如果仅仅用反码表示，0和255都会出现相同的编码，这个时候，我们利用反码+1，得到一种新的编码，也就是我们所说的补码，来表示有符号数中的负数。

 

有符号数和无符号数之间的转换

将有符号数转换成无符号数，公式如下：

无符号数转换成补码

扩展一个数字的位表示

    将一个无符号数转换为一个更大的数据类型，我们只需要简单的在表示的开头添加0，这种运算叫做零扩展（zero extension）。将一个补码数字转换成一个更大的数据类型执行符号扩展（sign extension），规则是在表示中添加最高有效位的值的副本。如下所示：

整型运算

无符号加法

补码加法

补码非的求法

        上面的方法就是先取反，然后+1；另外一种方法如***意红框中的数字是没有改变的，而其他位都取反了，也就是说一个二进制表示的数字，它的补码非就是它从最右边那个1及其后面的0都不改变，1左边的数取反。

 

乘以常数

除以2的幂

浮点数

二进制小数的求值

IEEE浮点表示

以上图为例，它的S是0，阶码E为4位，尾数M为3位，针对标注的1、2分别分析。

对于规格化2处，阶码值E=e-Bias，其中Bias=2^k-1-1，其中k就是阶码的尾数，所以这里Bias=7，而e=0110b=6，所以E=-1，f=0.110b=6/8，M=f+1=14/8；

对于非规范化1处，阶码值E=1-Bias，其中Bias=2^k-1-1，其中k就是阶码的尾数，所以这里Bias=7，所以E=-6，f=0.010b=2/8，M=f=2/8。