浮点数的表示与运算

对于f取值的五种分类

	M / frac value	E	什么情况下会产生
Normalized Value	M = 1.xxxxx , 其中xxxxx被frac value表示	000...01 <= E <= 111...10	正常情况下多为这种数
Denormed Value	M = 0.xxxxx, 其中xxxxx被frac value表示	E = 111...11	当数非常接近0时
+0 / -0	frac value = 000...00	E = 000...00	当数非常非常接近0，以至于Denormed Value也表示不了的时候
+∞ / -∞	frac value = 000...00	E = 111...11	除以0，或者溢出时
nan (not a number)	frac value ≠ 0	E = 111...11	0/0，或者0*∞时

 如果把浮点数看做带符号的整数，那么它们的大小关系可以用下图表示出来：（float->int, double->long long）

事实上，这正体现了这种浮点数表示法的优点，它可以像整型一样轻易地比较大小

为了更加深入地理解浮点数的取值分布，可以考虑一个低位浮点数，这里取8位浮点数，其中exp（指数）占4位，frac（数值）占3位，我们得到下表

就着这张表理一下浮点数表示的一些细节

1. 对于normalized value，相当于就是二进制版的“科学计数法”。因此我们就知道了为什么M的首位要自动补1了，因为如果首位是0，说明E的值有问题，该调整E使得M的首位变成1，这样的话，无论如何M的首位都会是1。既然如此，又何必浪费1bit去表示1呢？况且，原本23位的M现在能表示24位的数了，看到8的倍数就觉得好。
2. 无符号的4位的E可以表示2^4-1=15种可能，除去1111和0000还有13中，由于E可正可负，因此我们选取一个偏置，在读到E时自动减去偏置。这里偏置的选择是2^3-1=7，E原本的取值是0001~1110，即1~14，减去偏置后为-6~7。和带符号整型的表示略有区别，带符号整型的“偏置”不会-1，所以这里的E正值范围大于负值，带符号整型的负值范围大于正值
3. normalized value没能物尽其用，因此引入denormed value。denormed value和最小的normalized value之间的过渡平滑
4. 对于normalized value之间的间距与normalized value和denormed value之间的间距，如下图所示

            

二、浮点数运算

基本理念：先做无穷精度的计算，再近似舍入

1. 舍入

舍入分四种，分别是向0舍入，向上(+∞)舍入，向下(-∞)舍入，以及向偶数舍入

浮点数的舍入采取最后一种，具体来说，类比“四舍五入”，如果不是.50000就正常舍入，如果是就像最近的偶数舍入，并不是说舍入结果一定是偶数

举例：

2. 乘法

3. 加法

4. Mathematical Properties of Addition

• 交换律√
• 结合律x
• 0是加法单位元√

5. Mathematical Properties of Multiplication

• 交换律√
• 结合律x
• 1是乘法单位元√
• 分配率x
  • 例如
  • cout << 1e200*1e200-1e200*1e200 << endl; // nan
  • cout << 1e200*(1e200-1e200) << endl; // 0

三、浮点数与整数的相互转化（Casting）

• float -> int 截取整数部分，不进行舍入
• int->double（32位->52位）没有问题
• int->float （32位->23位）需要舍入，思路还是先弄成无限精度，再舍入