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数值计算day1-计算机中的浮点数；误差；数学基础

分类: 文章 • 2023-12-04 10:01:04

鉴于课堂笔记较为潦草，这里将为期两周的暑期学校学习内容整理到博客中，一来今后查阅起来比较方便，二来学过的东西如果不趁热整理很快就会忘记。

书籍：Numerical Methods for Engineers and Scientist--《工程科学中的数值计算》
课时：24小时

1. 计算机中浮点数的表示

1.1 十进制浮点表示

\[d.ddddd\times 10^p\] 其中\(0.dddddd\)称作小数部分(mantissa)

例子：

  • \(6519.23 = 6.51923\times 10^3\)
  • \(0.00000391 = 3.91\times 10^{-6}\)

\(10\)的次幂\(p\)表示数据的数量级，小数点前面的数字要小于5，否则数量级为\(p+1\)。在这里，\(3.91\times 10^{-6}\)的数量级为\(10^{-6}\)，记为\(O(10^{-6})\)；而 \(6.51923\times 10^3\)的数量级为\(10^4\)

1.2 二进制浮点表示

\[1.bbbbbb\times 2^{bbb}\]

\(2\) 的次幂称作指数部分(exponent)，小数部分和指数部分都应该写为二进制形式。\[50=\frac{50}{2^5}\times 2^5=1.5625\times 2^5，\text{二进制浮点数：} 1.1001\times 2^{101}\] 转换方法： \(50=\frac{50}{2^5}\times 2^5=\frac{32+16+2}{2^5}\times 2^5=\frac{110010.0}{2^5}\times 2^{101}=\text{(小数点左移5位)}1.1001\times 2^{101}\)

例子：

  • \(1344=\frac{1344}{2^{10}}\times 2^{10}=\frac{1024+256+64}{2^{10}}\times 2^{10}=\frac{10101000000.0}{2^{10}}\times 2^{10}=\text{(小数点左移10位)}1.0101\times 2^{1010}\)
  • \(0.3125 = \frac{0.3125}{2^{-2}}\times 2^{-2}= \frac{0.25+0.0625}{2^{-2}}\times 2^{-10}=\frac{0.0101}{2^{-2}}\times 2^{-10}=\text{(小数点右移2位)}1.01\times 2^{-10}\)
1.3 IEEE-754标准

在计算机中存储二进制浮点数，小数点前的数字\(1\)不需要存储，IEEE-754标准分为单精度(single precision)和双精度(double precision)。在单精度中，使用\(32\)位(\(4\)字节)存储浮点数，双精度使用\(64\)位(\(8\)字节)存储。两者的首位均为符号位，\(0\)对应着\(+\)，\(1\)对应着\(-\)。接下来的\(8\)位存储指数部分（双精度中使用\(11\)位），最后\(23\)位存储小数部分（双精度中使用\(52\)位）。
数值计算day1-计算机中的浮点数；误差；数学基础

小数部分存储为二进制，指数部分的值需要加上一个偏差(bias)。以双精度为例，用于存储指数部分的\(11\)位二进制能存储的最大值是\(2047\)，使用\(1023\)为偏差，即当指数部分为\(4\)时，实际存储的值为\(4+1023=1027\)，按照此逻辑，指数部分能存储的最小值为\(-1023\)，最大值为\(1024\)。但是，最小和最大的指数值（加上偏差）被留作表示\(0\)，\(Inf\)以及\(NaN\)。如果指数部分加上偏差为\(0\)，小数部分为\(0\)时，存储的是\(0\)；如果指数部分加上偏差为\(2047\)（全部为\(1\)），当小数部分为\(0\)时，存储的是\(Inf\)，当小数部分不为\(0\)时，存储的是\(NaN\)（在单精度中，偏差为\(127\)）。

例子：\[22.5=\frac{22.5}{2^4}\times 2^4 = \frac{16+4+2+0.5}{2^4}\times 2^4=frac{10110.1}{2^4}\times 2^{4}=1.01101\times 2^4\] 指数部分为\(4\)，存储为\(4+1023=1027=1024+2+1=10000000011\)，小数部分为\(0.01101000...000\):
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注意

  • 在双精度中，存储的最小正数为 \[2^{-1022}\approx 2.2\times 10^{-308}\ \text{($0\ 00000000001\ 000...000$)}\] 此数与\(0\)之间的数无法被计算机存储；
  • 在双精度中，存储的最大正数为 \[2^{1024}\approx = 1.8\times 10^{308}\ \text{($0\ 11111111110\ 111...111=(1+2^{-1}+...+2^{-52})\times 2^{1023}$)}\]

数值计算day1-计算机中的浮点数；误差；数学基础

2. 数值方法中的误差

2.1 Round-Off Errors (舍入误差)

舍入误差分为两类：

  • 截取(chopping off) \[\frac{2}{3}=0.666...\approx 0.666\]

  • 四舍五入(rounding) \[\frac{2}{3}=0.666...\approx 0.667\]

例子： \(x = 9890.9 = 9.8909\times 10^3, y = 9887.1=9.8871\times 10^3\)

采用截取(chopping off)：\(\bar{x} = 9.890\times 10^3, \bar{y} = 9.887 \times 10^3\)
采用舍入(rounding)：\(\tilde{x} = 9.891\times 10^3, \tilde{y} = 9.887 \times 10^3\)

两种舍入产生的差值分别为：\(\bar{x}-\bar{y} = 0.003 \times 10^3 = 3, \tilde{x}-\tilde{y} = 0.004 \times 10^3 = 4\)，两值实际的差距为\(3.8\)，在此问题中，四舍五入更接近真实值。

2.2 Truncation Errors (截断误差)

截断误差依赖于使用的数值方法

考虑正弦函数的如下泰勒展开： \[sinx = 1-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...\] 当\(x=\frac{\pi}{6}\)时，\(sinx = \frac{1}{2}\)。若只取第一项，\(sinx\approx x = \frac{\pi}{6}\approx 0.5235988\)，截断误差为\(E^{TR} = Exact - Numerical = -0.0235988\)；若取前两项，\(sinx\approx = x-\frac{x^3}{3!} = 0.4996742\)， 截断误差为\(E^{TR} = Exact - Numerical = 0.0003258\)

2.3 Total Error （总误差）

数值解的总误差也叫真实误差(true error)，包括舍入误差和截断误差两部分，是真实解和数值解之间的差值：\[TrueError = TrueSolution - NumericalSolution\] 真实误差的绝对值和真实解的比值称作真实相对误差：\[TrueRelativeError = |\frac{TrueSolution-NumericalSolution}{TrueSolution}|\]

3. 数学基础

3.1 函数的连续性

定义：函数\(f(x)\)称作在\(x=a\)处连续，如果以下三个条件成立：

  • \(f(a)\) 存在
  • 极限\(\lim\limits_{x\longrightarrow a}\)存在
  • \(\lim\limits_{x\longrightarrow a}f(x) = f(a)\)

介值定理(Intermediate value theorem)：\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续，\(M\)是介于\(f(a)\)和\(f(b)\)之间的数值，则至少存在一个点\(c\in [a,b]\)使得\(f(c)=M\)。
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3.2 函数的可微性

函数\(y=f(x)\)在点\(x=a\)处的导数记为\(\frac{dy}{dx},y',\frac{df}{dx},f'(a)\), 定义为：\[\frac{dy}{dx}|_{x=a} =f'(a) = \lim\limits_{x\longrightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\] 数值计算day1-计算机中的浮点数；误差；数学基础
可导函数则必是连续函数，连续函数未必可导，一个连续可导的函数称作是光滑的(smooth)。
链式法则：函数\(y=f(u)\)，其中\(u=g(x)\)，则\[\frac{dy}{dx} = (\frac{dy}{du})(\frac{du}{dx})\]

微分中值定理(Mean value theorem for derivatives)：\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续，在开区间\((a,b)\)上可导，则存在一个数\(c\in (a,b)\)，使得\[ f'(c) = \frac{dy}{dx}|_{x=c}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\] 数值计算day1-计算机中的浮点数；误差；数学基础

3.3 函数的积分

积分基本定理：函数\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续，\(F(x)\)是\(f(x)\)在\([a,b]\)上的不定积分，则：\[\int_{a}^{b}f(x)dx = F(b)-F(a)\]
积分中值定理：函数\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续，存在\(c\in [a,b]\)使得：\[\int_{a}^{b}f(x)dx = f(c)(b-a)\] 值\(f(c)\)称作是函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上的均值(average value)：\[<f> = \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx\] 数值计算day1-计算机中的浮点数；误差；数学基础
变上下限积分：

  • \(\frac{d}{dx}[\int_{a}^xf(t)dt]=f(x)\)
  • \(\frac{d}{dx}\int_{v(x)}^{u(x)}f(t)dt=f(u(x))\frac{u(x)}{dx}-f(v(x))\frac{dv(x)}{dx}\)
  • \(\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)}f(x,t)dt = f(x,b(x))b(x)-f(x,a(x))a(x)+\int_{a(x)}^{b(x)}\frac{\partial f(x,t)}{\partial x}dt\)

4. 总结

本节课主要讲述了浮点数在计算机中的表示方法，其中IEEE-754标准是20世纪80年代以来最广泛使用的浮点数运算标准，为许多CPU与浮点运算器所采用。之后，介绍了数值计算中的几种常用的误差，包括舍入误差、截断误差等。最后简单回顾了一下函数连续、可微等数学背景。课堂中，还简单演示了MATLAB中向量、矩阵的相关运算，较为简单，这里没有做总结，后续笔记中，会涉及到相应的一些操作。

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