有符号数无符号数加法以及浮点数表示

写在前面：计算机中数据存储与运算的专业名词听起来晦涩，实际上我们在九年义务教育阶段就已经掌握了，如：整型（integer）——整数，浮点数（float）——小数，无符号数（unsigned）——正数，有符号数（signed）——负数，把这种关系记在脑中，学起来就不那么怕了。

1、无符号整型表示（正数表示）

我们在纸上写一个数字，可以把数字写的无限大，但在计算机中不可以。数据在计算机中的表示有位宽（bits）要求，这是由于寄存器或存储单元有位宽限制，常见的位宽有8bits（字节），16bits（半字），32bits（字），64bits（双字），甚至有128bits。正因为如此，我们使用C语言定义整型变量时，需要考虑变量是short，int，long或是long long。假设位宽为4bits，则能表示最小的数为（0000），最大的数为（1111）：

位宽为 w bits，表示的无符号数范围为 [0, ]。

2、有符号数整型表示（负数表示）

有符号数在计算机中有多种标准表达方式：补码，反码和原码。本文主要介绍补码编码方式

在补码中，数据的最高有效位为负权，先看下面例子：

4bits位宽的补码能表达的最大整数为7，最小整数为-8。因此，位宽为 w bits 的补码能表示的最大整数为，最小整数为。这时候再看下面这张表是不是明白很多了。

3、无符号整型加法

4+9=13，在这个运算中，4和9都是一位整数，13是两位整数，两个一位整数相加得到两位整数，这在计算机中称为溢出。在计算机中，四位位宽数据相加只能得到四位位宽数据。看下面例子：

假设计算机位宽为4bits，则上面的计算结果应舍去最高位，只保留后四位，得到结果6（0110）。对于位宽为w的数据，我们得到以下结论：

4、有符号整型加法

4bits位宽补码能表示的数据范围为[-8,7]，任意两数相加得到的值范围为[-16,14]，其中，[-16,-9]并上[8,14]都是溢出的值，计算机无法表达，那计算机如何计算呢？看如下例子：

假设计算机位宽为4bits，上面公式计算结果只能保留后四位0001=1。因此，在位宽为4bits的计算机中，-8+（-7）=1。值虽然不对，但并不会报错。对于位宽为w的数据，有如下结论：

5、优雅的表示浮点数

IEEE浮点标准用的形式表示一个小数：

S表示符号，位数为1，s=1表示负数，s=0表示正数；

M表示尾数，位数用k表示，是二进制小数，取值范围为[0,1)，或者[1,2)；

E表示阶码，位数用n表示，作用是对浮点数进行加权。

单精度与双精度的位数如下图所示：

采用此种方法编码的数根据exp的值可分为三种：非规格化（exp值全为0），规格化（exp值非全0和非全1），无穷大以及NaN（exp值全为1）。

（1）规格化

这类情况下，阶码值 E=exp-bias，bias为常数，。单精度与双精度的exp值范围分别为（0,255），（0,2047）。bias值分别为127,1023，得到阶码值E的取值范围分别为[-126,127]，[-1022,1023]。

尾数M=f+1。其中 f 取值范围为[0,1)。 因此M的取值范围为[1,2)。

规格化的数据没法表达0附近的数据，因此需要非规格化的数据。

（2）非规格化

这类情况下，阶码值 E = 1- bias，M=f。非规格化的值与规格化的值平滑对接，可以表达0附近的值，包括-0和+0。

（3）特殊值

当阶码全为1，f=0时，表示无穷大。f != 0 时，表示NaN。

举个例子：6位格式的浮点数，阶码位数k=3，尾数尾数n=2。此时bias=3，能表达的规格化数范围为[-14,14]，非规格化数在0附近：