将古典融汇到现代（一） ---皮尔斯逻辑之四

将古典融汇到现代（一） —皮尔斯逻辑之四

这个世界中的许多事情，譬如商业活动，权力争夺等等，大都会诉诸于情感、亲缘、地缘等因素。由此而有阶层之分，派别之分，人群之分。但好在有理性，有科学，还有技术。折腾这些东西的时候，情感、亲缘、地缘等等，似乎可以暂且搁置一边，只讲其中的道道、理性与逻辑。
而逻辑这东西因为纯粹理性，自然就少有人理睬，但还是有人在理睬。这就产生另一个好在，好在还有学者和爱知识的人在，他们对于人类的符号，有一种特别的执着和偏好，什么邪恶力量也挡不住。由此，知识也就得以传承发育与增长，自然，逻辑作为知识的一个部件，也就总能传承、发育与生长。
照片

一、皮尔斯是一个菲罗主义者
古典逻辑延续到19世纪中叶，在英国人布尔那里找到了和数学结合的办法。而大洋另一边的美国，又有皮尔斯这位学者，几乎没有时间缝隙似的，承继了欧洲人的这种结合。他在谈到逻辑的时候，不像布尔，延续英国人关于逻辑的常态想法，把逻辑看作是心理活动的产物。皮尔斯在这点上不同于布尔，他说这个东西和心理学关系不大，但他又赞成布尔的另一种说法，逻辑应该是由数学来引领的。
他不仅仅赞成，还有行动和创建。皮尔斯沿着布尔的思路前行，让现代逻辑更加成熟和丰满起来。而且，皮尔斯的奇思异想，竟然把古典逻辑的两个基点，用一种无可非议的方式连接了起来。你会在他这种奇思异想的结果面前，惊叹人类智慧的神奇魔幻。
古典逻辑有两个基点，一个是亚里士多德的三段论逻辑，另一个则是稍晚一些的斯多葛学派有关命题的逻辑。
亚里士多德大都熟悉，我暂且不谈，稍后就会涉及到他，这里只简略论及斯多葛学派的命题逻辑。斯多葛学派有关命题的逻辑，其中的条件句逻辑是基点中的基点。所以，后来罗马帝国早期的逻辑学家西塞罗（前106-43），他也被看作是斯多葛学派的一个代表人物，在谈到斯多葛学派的逻辑理论时，说过这么一段话：

关于逻辑理论的那个基本观点存在有相当大的争论，我们如何能够判断像“如果是白天，那么天是亮的”这样一个复杂陈述句的真或假呢？第奥多鲁斯主张一种观点，菲罗主张另一种观点，而克吕西波则主张第三种观点。（转引自威廉涅尔著《逻辑学的发展》第150页）

斯多葛学派在古希腊晚期，就想到了今天的命题逻辑，但并没有想到用数学来处理。而且，斯多葛学派这方面留下的资料，实在是稀少至极。依据威廉涅尔《逻辑学的发展》一书所述，菲罗（约前300年）是第奥多鲁斯（约前310年）的学生，这两人大概是斯多葛学派前身，史称“麦加拉学派”的人。而克吕西波（前280-207），则是继承麦加拉学派而形成的斯多葛学派的领袖。
照片

这里只能把文字集中到菲罗，因为皮尔斯在他的哈佛讲演集的第二讲中，他大赞菲罗主义，认为有实力的逻辑学家，几乎全都是菲罗主义者，他自己就是一个菲罗主义者。（参见《推理及万物逻辑》第143页）其实，第奥多鲁斯也值得一谈，还有一个第奥多鲁斯主义，这个主义也有不少有趣的观念，待以后讨论CI.刘易斯的时候，我们再来关注。
那么，什么是菲罗主义呢，主义这个词在我们这里有点吓唬人，其实指的不过是菲罗关于逻辑的一套系统观念而已。菲罗主义中的一个重要观念，是关于“条件句”的，也是上述引文中提到的，那些有“如果，那么”来链接的语句，也就是如上所述的语句：“如果是白天，那么天是亮的”，这样一类用“如果，那么”来连接的陈述句。
菲罗关于这类条件句的观点，可以表述为如下一段描述，这段表述中举例的条件句，很清楚，也是用“如果，那么”把两个子句连接起来。

菲罗说，完善的条件句是一种不是开始于真而结束于假的条件句，例如当白天时，我在谈话，陈述句“如果是白天，我就在谈话”。（转引自威廉涅尔著《逻辑学的发展》第166页）

菲罗所研究的条件句，用给条件句赋值的方式加以定义，称做完善的条件句。现代逻辑把这类条件句称之为菲罗蕴涵，一般称蕴涵式。那么这个蕴涵式的概念如何产生的呢？这得从皮尔斯的那篇《关系逻辑的记号描述》说起。

二、皮尔斯为现代逻辑引入蕴涵关系的概念
我在上篇小文中提到，皮尔斯在研究布尔代数时，区分了算术关系和逻辑关系。他引入了一个符号ￂ，一个aￂb的符号表达式，有点从a推论出b的意思，他把这种关系称为逻辑关系。除了创建这个推论符号之外，他在论述关系逻辑的论文中，还创建了另一个重要的符号⊂，读作“包含于”，如果有符号表达式a⊂b，那就是说，所有a的成员都包含在b的成员之中。有了这个包含于关系，布尔施罗德代数就更加完善与丰满了。
如果把这个类逻辑之中的包含于关系，应用到命题对象之中，建立一个命题逻辑，那么，一个x⊂y的符号串公式，就可以读作为带有赋值的蕴涵式：“如果x是真的，那么y是真的”。但是，皮尔斯深知，作为类对象的x⊂y，和作为蕴涵式的，并且是通常意义上的“如果x，那么y”之间，区别是非常明显的。
区别在哪里呢？从自然语言所理解的意义出发，这两类符号表达式在意义上好像相差甚远。当我们说“x⊂y”的时候，从外延的角度来看，是x的成员一定在y的成员之内。而当我们说“如果x，那么y”的时候，外延的对象似乎消失了。因为对于一个命题而言，在皮尔斯那个年代，命题这个特殊的类别，似乎还没有外延成员一说，你只能说，一个自然语言中的语句或者命题是有意义的。由此，对这个蕴涵式的常规理解，也就常常是，在命题x中所涵藏的意义，一定包括了在命题y中所涵藏的意义。蕴涵这个词的本义，正是这样的理解。所以，英文的implication，中文翻译为蕴涵，表达这个蕴涵的命题，自然就称为蕴涵式了。
以上只是我的理解，我们还是依据皮尔斯的论述，来揣摩猜测这个区别吧。（参见C.I.刘易斯《符号逻辑概览》第84页）
一个通常意义上的蕴涵式“x蕴涵y”，它往往意味着，“如果x为真，那么y为真”。但是，把自然语言的条件句符号化成为“x蕴涵y”之后，这个意义就被大大地改动了，被那个仅靠事物的实在状况而被提及的情景给改动了。这个时候的字母符号x和y，虽然可以实例化为某个具体的命题，以方便人们对它的理解。但连接x和y构成的蕴涵式“x蕴涵y”，已经脱离了实际情景，那个通常的自然语言角度的意义，在符号的构建之中，就那么自然地蒸发掉了。
那么现在，用“如果x为真，那么y为真”来表达的这个假设性命题，它的特性是什么呢？这个特性可以表述为：该命题已经超越了事物的实际状况，并且还宣称，将要发生的东西会是不同于它们实际上是或者也许是的东西。，
的确是这样，符号表达的蕴涵式，被表达实际的情景给出了巨大的更改之后，用皮尔斯的语言，结果竟然是把我们放进了一个规范所有者的身份之中。那就是说，“如果A是真的，那么B是真的”这样一个表达式，它使得我们在未来的某个时刻学到了我们在当下忽略掉的一些东西。亦即，我们从这个表达式中找到一个规则，“A 是真的”可以代表这个规则。依据这个规则，我们将发现，我们还知道别的某种东西，亦即B是真的。仔细琢磨这段我意译出来的皮尔斯文本，其实表达的就是我在前表达的意思，一个蕴涵式，一定是其在前的命题在意义上涵盖了在后的命题，如此它才成为制约在后命题的一条规则。
先讲了蕴涵式，那么，那个“包含于”的公式x⊂y，如何和这个蕴涵式连通起来呢？皮尔斯是通过对比联系起来的。
公式a⊂b也是一个命题，如果我们从赋值的角度来考察它，对于它的赋值，应该是如下所示的结果：
如果a是假的，或者如果b是真的，那么a⊂b是真的；
如果a是真的，同时b是假的，那么a⊂b是假的；

古希腊的菲罗时代，一定没有这个包含于的关系。所以菲罗也就肯定不知道，曾以他的名字命名的条件句，史称菲罗蕴涵的这个命题，如果这个命题是一个完善的条件句的话，这个完善条件句的赋值竟然完全等同于公式a⊂b的赋值。
这大概也在说明，类逻辑中的包含于关系，完全等价于命题逻辑中的蕴涵式。两个具有包含于关系的类，如果转换为命题间的关系，那就是在意义上，在前的命题意义含蕴了在后的命题意义。皮尔斯用他的这个包含于关系，为理解蕴涵式这种最基本的命题形式，提供了让人耳目一新的视角。
一个通俗的蕴涵和包含于关系的简介照片

这样一种蕴涵式的新解，让这类命题形式继续分化，分化为几类蕴涵式。菲罗完善条件句的这种蕴涵式，今天被人们称为实质蕴涵（material implication）。这个实质蕴涵的表达式，皮尔斯还做了进一步的发挥。用这种蕴涵式，不仅能够建立命题逻辑系统，还可以和古典的三段论联系起来，并激发人们进一步地去考察三段论中的量词，存在量词和全称量词。这个联系同样有趣而且让人惊叹，限于篇幅，留待下篇再述。2020/07/15