线性代数之——线性相关性、基和维数

1. 线性相关性

矩阵 $A$A 的列是线性不相关的当且仅当 $Ax=\boldsymbol0$Ax=0 的唯一解是 $x=\boldsymbol0$x=0。没有其它的线性组合能给出零向量。

在三维空间中，如果三个向量 $v_1, v_2, v_3$v1​,v2​,v3​ 不在同一个平面中，那它们就是不相关的，只有 $0v_1+0v_2+0v_3$0v1​+0v2​+0v3​ 能给出零向量。如果三个向量 $v_1, v_2, v_3$v1​,v2​,v3​ 位于同一个平面中，那它们就是相关的。

一系列向量 $v_1, v_2\cdots v_n$v1​,v2​⋯vn​ 是线性不相关的当且仅当给出零向量的唯一线性组合是 $0v_1+0v_2\cdots +0v_n$0v1​+0v2​⋯+0vn​。

如果一个线性组合给出零向量，但不是所有的系数都为零，那么它们就是相关的。

矩阵 $A$A 的列是线性不相关的当且仅当其秩 $r=n$r=n。这时候有 $n$n 个主元没有*变量，零空间中只有一个零向量。

假设在一个矩阵有 5 列，每一列都属于 $R^3$R3，那它们肯定是线性相关的。因为矩阵最多有 3 个主元，那就意味着至少有 5-3=2 个*变量。

如果 $n>m$n>m，那么在 $R^m$Rm 中的 $n$n 个向量一定是线性相关的。

一系列向量可以扩充出（span）一个空间如果它们的线性组合填满了这个空间。列空间就是所有的列扩充出的子空间。

行空间是由矩阵的行扩充出的子空间，$A$A 的行空间称为 $C(A^T)$C(AT)，它是 $A^T$AT 的列空间。

2. 基

两个向量不能扩充出 $R^3$R3 空间，即使它们是不相关的。四个向量如果只扩充出了 $R^3$R3 空间，那它们肯定是不是不相关的。我们需要足够的向量来扩充出一个空间，而基就刚刚好。

一个向量空间的基是一组向量，并且满足：它们都是线性不相关的并且它们能扩充出这个空间。

这个空间中的任何向量都可以表示为这些基的线性组合，而且是唯一的线性组合。

向量 $v_1, v_2\cdots v_n$v1​,v2​⋯vn​ 是 $R^n$Rn 的一个基当且仅当它们是一个 $n*n$n∗n 的可逆矩阵的列。因此， $R^n$Rn 可能有无穷多个基。

矩阵 $A$A 和 $R$R 的行空间是一样的，主行是行空间的一个基；矩阵 $A$A 和 $R$R 的列空间是不一样的，但它们的维数是一样的。

3. 维数

一个向量空间的所有基都包含相同数量的向量，基中向量的个数，称为空间的维数。

假设 $v_1, v_2\cdots v_m$v1​,v2​⋯vm​ 和 $w_1, w_2\cdots w_n$w1​,w2​⋯wn​ 都是同一个向量空间的基，那么一定有 $m=n$m=n。

如果 $m \not = n$m̸​=n，我们假设 $n>m$n>m，因为 $v_1, v_2\cdots v_n$v1​,v2​⋯vn​ 是其中一个基，那么 $w_1, w_2\cdots w_m$w1​,w2​⋯wm​ 就都可以表示成它们的线性组合。

我们不知道每一个系数 $a_{ij}$aij​ 的值，但我们知道矩阵 $A$A 的大小为 $m×n$m×n，因此 $VAx = 0$VAx=0 也就有非零解，也就是 $Wx = 0$Wx=0 有非零解，这就是说 $w_1, w_2\cdots w_n$w1​,w2​⋯wn​ 是线性相关的，它们不可能是一个基。

同理，我们也可以证明 $m>n$m>n 是不可能的，因此一定有 $m=n$m=n。

一个空间的维数就是每个基中向量的个数。

3. 矩阵空间和函数空间

相关性、基和维数不仅仅局限于向量空间，也适用于矩阵空间和函数空间。

一个包含所有 2×2 矩阵的向量空间，它的维数是 4。

这些矩阵是线性不相关的，我们不仅仅是看它们的列，而是将整个矩阵看作是一个“向量”。

只有当 $c_1 = c_2=c_3=c_4=0$c1​=c2​=c3​=c4​=0 时，矩阵才全为零，这也进一步验证了它们是不相关的。

二阶线性微分方程的解空间维数为 2。

空间 $\boldsymbol Z$Z 仅仅包含零向量，它的维数为 0，不包含任何向量的空集是它的一个基。任何基中都不能包含零向量，因为这会破坏线性不相关性。

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