卡尔曼滤波原理(二):扩展卡尔曼
1、理论部分
上一篇介绍了线性卡尔曼滤波器,当系统为线性高斯模型时,滤波器能给出最优的估计,但是实际系统总是存在不同程度的非线性,如平方、三角关系、开方等。对于非线性系统,可以采用的一种方法是通过线性化方法将非线性系统转换为近似的线性系统,即为EKF,核心思想是:围绕滤波值将非线性函数展开成泰勒级数并略去二阶及以上项,得到一个近似的线性化模型,然后应用卡尔曼滤波完成状态估计。
系统方程
各个变量意义同上一节,其中f和h代表状态和观测的非线性函数。
在扩展卡尔曼滤波中,状态的预测以及观测值的预测由非线性函数计算得出,线性卡尔曼滤波中的状态转移矩阵A阵和观测矩阵H阵由f和h函数的雅克比矩阵代替,假设状态有n维,则求法如下:
有了上面矩阵的计算方法,EKF滤波过程同线性卡尔曼滤波相同,公式如下
2、实践部分
根据图中情景,选取横向位置、速度,纵向位置、速度为状态量,列出下面非线性状态方程及观测方程
根据状态方程和观测方程,计算雅克比矩阵如下
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close all;
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clear all;
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%% 真实轨迹模拟
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kx = .01; ky = .05; % 阻尼系数
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g = 9.8; % 重力
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t = 15; % 仿真时间
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Ts = 0.1; % 采样周期
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len = fix(t/Ts); % 仿真步数
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dax = 3; day = 3; % 系统噪声
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X = zeros(len,4);
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X(1,:) = [0, 50, 500, 0]; % 状态模拟的初值
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for k=2:len
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x = X(k-1,1); vx = X(k-1,2); y = X(k-1,3); vy = X(k-1,4);
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x = x + vx*Ts;
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vx = vx + (-kx*vx^2+dax*randn(1,1))*Ts;
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y = y + vy*Ts;
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vy = vy + (ky*vy^2-g+day*randn(1))*Ts;
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X(k,:) = [x, vx, y, vy];
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end
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%% 构造量测量
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dr = 8; dafa = 0.1; % 量测噪声
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for k=1:len
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r = sqrt(X(k,1)^2+X(k,3)^2) + dr*randn(1,1);
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a = atan(X(k,1)/X(k,3))*57.3 + dafa*randn(1,1);
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Z(k,:) = [r, a];
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end
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%% ekf 滤波
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Qk = diag([0; dax/10; 0; day/10])^2;
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Rk = diag([dr; dafa])^2;
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Pk = 10*eye(4);
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Pkk_1 = 10*eye(4);
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x_hat = [0,40,400,0]';
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X_est = zeros(len,4);
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x_forecast = zeros(4,1);
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z = zeros(4,1);
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for k=1:len
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% 1 状态预测
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x1 = x_hat(1) + x_hat(2)*Ts;
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vx1 = x_hat(2) + (-kx*x_hat(2)^2)*Ts;
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y1 = x_hat(3) + x_hat(4)*Ts;
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vy1 = x_hat(4) + (ky*x_hat(4)^2-g)*Ts;
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x_forecast = [x1; vx1; y1; vy1]; %预测值
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% 2 观测预测
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r = sqrt(x1*x1+y1*y1);
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alpha = atan(x1/y1)*57.3;
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y_yuce = [r,alpha]';
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% 状态矩阵
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vx = x_forecast(2); vy = x_forecast(4);
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F = zeros(4,4);
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F(1,1) = 1; F(1,2) = Ts;
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F(2,2) = 1-2*kx*vx*Ts;
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F(3,3) = 1; F(3,4) = Ts;
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F(4,4) = 1+2*ky*vy*Ts;
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Pkk_1 = F*Pk*F'+Qk;
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% 观测矩阵
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x = x_forecast(1); y = x_forecast(3);
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H = zeros(2,4);
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r = sqrt(x^2+y^2); xy2 = 1+(x/y)^2;
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H(1,1) = x/r; H(1,3) = y/r;
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H(2,1) = (1/y)/xy2; H(2,3) = (-x/y^2)/xy2;
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Kk = Pkk_1*H'*(H*Pkk_1*H'+Rk)^-1; %计算增益
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x_hat = x_forecast+Kk*(Z(k,:)'-y_yuce); %校正
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Pk = (eye(4)-Kk*H)*Pkk_1;
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X_est(k,:) = x_hat;
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end
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%%
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figure, hold on, grid on;
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plot(X(:,1),X(:,3),'-b');
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plot(Z(:,1).*sin(Z(:,2)*pi/180), Z(:,1).*cos(Z(:,2)*pi/180));
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plot(X_est(:,1),X_est(:,3), 'r');
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xlabel('X');
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ylabel('Y');
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title('EKF simulation');
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legend('real', 'measurement', 'ekf estimated');
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axis([-5,230,290,530]);
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仿真结果