统计学—双线性插值（三）

双线性插值其函数其实不是线性的，函数类似于F（x,y）=a0+a1x+a2y+a3xy。

通过函数我就可以看出来，我们想要得到的插值点是位于任意一（x,y）位置上的第三维的值F（x,y）。我们可以想象我们正在处理一张图片A，像素的行列号即是（x,y），像素的灰度值就是F（x,y）,当我们需要对这张图片的像素值进行重采样的时候，新图片的每个像素灰度值是多少呢？这就需要进行插值处理了。

                                       

如上图所示，P1、P2、P3、P4代表4个像素的中心点，其行列号为（x1,y1）、（x2,y1）、(x1,y2)、（x2,y2）对应的灰度值为D1、D2、D3、D4,Q为我们重采样后的像素点，灰度值为D。

对于Q的行列号，我们需要分清楚的是：

由于对原始图像进行了重采样，所以像素的大小发生了变化（图中的蓝框为原始像素的大小，红框为重采样后的像素大小）。

由此可知，假如原始图片是300*300的大小，那么重采样后可能为500*700（照片的实际尺寸没变，只是像素大小变了导致了行列数增加）.这也就是说在确定了重采样的像素大小后，新图片的行列数就已经确定了，只不过此时还不知道每个像素的灰度是多少，在新图片里Q点的行列号我们用（R，C）来表示。

 但是，插值需要我们知道Q点在原始图片上的行列号是多少，因此我们用（x,y）来表示Q点在原始影像上的行列号（可以用小数表示行列号，如1.2行，1.7列）。其中(x,y)是可以由（R,C）及重采样前后像素大小的变化比率计算出来的。比如，重采样后的像素是原始像素的0.6倍，则x=R*0.6    y=C*0.6。

     好，现在我们知道了P1、P2、P3、P4、Q的坐标后，如何利用双线性插值来得到Q点灰度值D呢？

双线性插值实际上是先在X轴上进行一次线性插值，然后再在Y轴上进行一次线性插值。用图中的点位来解释的话就是：

（1）先在X轴上插值，得到R1和R2的灰度值

                                                       

                                                      

（2）在Y方向上对R1、R2进行插值，得到Q点的灰度值 

                                                    

算法理解上，在一个三维空间（X,Y,D）中对某点进行插值，先将四个点投影到X-D 平面，进行线性插值得到R1、R2的灰度值，再将R1、R2两个点投影到Y-D平面进行线性插值，得到Q点的灰度值。