双曲函数
在学习python中看到双曲函数，毕业好多年都忘记了，今天在知乎上看到一篇文本比较好，转载下
一、发展历史
双曲函数的起源是悬链线，首先提出悬链线形状问题的人是达芬奇。他绘制《抱银貂的女人》时曾仔细思索女人脖子上的黑色项链的形状，遗憾的是他没有得到答案就去世了。
时隔170年之久，著名的雅各布·伯努利在一篇论文中又提出了这个问题，并且试图去证明这是一条抛物线。事实上，在他之前的伽利略和吉拉尔都猜测链条的曲线是抛物线。
一年之后，雅各布的证明毫无进展（废话，证明错的东西怎么会有进展）。而他的弟弟约翰·伯努利却解出了正确答案，同一时期的莱布尼茨也正确的给出了悬链线的方程。他们的方法都是利用微积分，根据物理规律给出悬链线的二次微分方程然后再求解。
18世纪，约翰·兰伯特开始研究这个函数，首次将双曲函数引入三角学；19世纪中后期，奥古斯都·德·摩根将圆三角学扩展到了双曲线，威廉·克利福德则使用双曲角参数化单位双曲线。至此，双曲函数在数学上已经占有了举足轻重的地位。
19世纪有一门学科开始了全面发展——复变函数。伴随着欧拉公式的诞生，双曲函数与三角函数这两类看起来截然不同的函数获得了前所未有的统一。
二、函数定义
在讲双曲函数的定义之前，我们先看一看三角函数的定义。如图所示：
在实域内，三角函数的值是通过单位圆和角终边上三角函数线的长度定义的。当然这个「长度」是有正负的。
同理，双曲函数的值也是通过双曲线和角终边上的双曲函数线的长度定义的。如图：
具体的定义为
三、函数性质
和对应的三角函数性质十分类似，但又有一定的区别。
四、恒等式
双曲函数恒等式一定要结合着三角函数恒等式一起看，真的是太像了:
五、欧拉公式
欧拉公式是复变函数里几乎最重要的一个公式，它揭示了三角函数和指数函数之间的内在联系，从形式上也十分简洁优美：
用-x 替换掉x， 得到：
这样我们可以解出正弦和余弦函数与指数函数的关系式：
再把双曲函数拉过来看看：
不是非常接近了呢？很容易看出它们之间存在这样的关系：
六、复域统一
先研究一下三角函数和双曲函数的级数展开。
双曲函数和三角函数的区别仅仅在于是否有-1的幂这一项，双曲函数就是将三角函数改为非交错级数。正是由于其无比相似的级数展开，才使得它们具有十分相似的性质。
我们说了这么多，两类函数似乎各种相似却还是不一样。那么三角函数和双曲函数的关系到底是什么呢？
在复域上，它们的形状其实是一样的！
不信？我们画一画图像。
直观地看，同一行的两个函数除了角度不同之外形状是一样的。
而其实这个关系前边已经说明过了：
这两个式子说明对应的两个函数仅通过旋转（对于复变函数，乘i就相当于逆时针旋转90°）即可重合。
对了，大家都知道三角函数的周期是2pi，那么大家猜猜双曲函数的周期是多少？没错，是2pi i！
七、映射关系（需具备复变函数基础）
八、应用范围
1.悬链线
悬链线的方程是双曲余弦函数，这个在文章开头已经介绍过。而悬索桥、双曲拱桥、架空电缆等都用到了悬链线的原理。在工程上，定义为悬链线系数，而把悬链的方程记为
给应用带来很大的方便，如图：
2.平行直导线单位长度电容
真空中无限长圆柱形直导线平行放置，相距为d, 半径分别为R1,和R2，电荷线密度为，则其单位长电容值为：
虽然是反双曲函数，但我觉得也算双曲函数的应用。这个公式在常见的手册上都是可以看到的。
3.换元积分
4.边值问题的解
直角坐标系中的拉普拉斯方程为
由于这三项分别是x,y,z的函数，因此方程恒成立就要求这三项均为常数。即
九、反双曲函数简介
细心的读者会注意到反双曲函数用的符号为ar,而反三角函数用的符号为arc，为什么呢？
因为反三角函数也可以用弧长定义：arcsinx就是「正弦值为x的角的弧长」。而反双曲函数则是用面积定义，表示对应双曲扇形面积的二倍，用arsh、arch等显示与其他函数的区别。
arc在英文中有「弧长」的意思，而ar表示area，有「面积」的意思。
十 双曲函数用指数定义
双曲函数用指数定义总结：
十一、参考文献
[1]Inverse trigonometric functions
[2]Inverse hyperbolic function
[4](俄)博亚尔丘克，复变函数[M]，北京，清华大学出版社，2008.5.
[5]同济大学数学系，高等数学[M]，北京，高等教育出版社，2007.10.
[6]张清，两无限长平行直导线间电容的精确解[J]，安徽，安徽工业大学学报，2003.1.
[7]徐裕生，反双曲函数符号的含义[J]，陕西，高等数学研究，1996.3.