【深度学习】防止过拟合
一、什么是过拟合
过拟合（overfitting）指在模型参数拟合过程中的问题，由于训练数据包含抽样误差，训练时，复杂的模型将抽样误差也考虑在内，将抽样误差也进行了很好的拟合。具体表现就是最终模型在训练集上效果好；在测试集上效果差。模型泛化能力弱。
二、为什么会过拟合
发生过拟合的主要原因可以有以下三点：
（1）噪声数据占比过大，样本集噪音数据占比大导致模型过分记住噪音特征，反而对真实输入输出关系描绘很差。
（2）建模样本抽取错误，包括（但不限于）样本集太少，抽样方法错误，抽样时没有足够正确考虑所有样本特点，等等导致即训练数据无法对整个数据的分布进行合理估计的时候。
（3）训练模型过度导致模型非常复杂，这与第一点原因结合起来其实非常好理解，当我们在训练数据训练的时候，如果训练过度，导致完全拟合了训练数据的话，得到的模型不一定是可靠的。比如说，在有噪声的训练数据中，我们要是训练过度，会让模型学习到噪声的特征，无疑是会造成在没有噪声的真实测试集上准确率下降！
三、怎么解决过拟合
（1）获取更多数据
在上李飞飞课程的时候老师有提过，“有时候往往拥有更多的数据胜过一个好的模型”。因为我们在使用训练数据训练模型，通过这个模型对将来的数据进行拟合，而在这之间又一个假设便是，训练数据与将来的数据是独立同分布的。即使用当前的训练数据来对将来的数据进行估计与模拟，而更多的数据往往估计与模拟地更准确。因此，更多的数据有时候更优秀。但是往往条件有限，如人力物力财力的不足，而不能收集到更多的数据，如在进行分类的任务中，需要对数据进行打标，并且很多情况下都是人工得进行打标，因此一旦需要打标的数据量过多，就会导致效率低下以及可能出错的情况。所以，往往在这时候，需要采取一些计算的方式与策略在已有的数据集上进行手脚，以得到更多的数据。
通俗得讲，数据机扩增即需要得到更多的符合要求的数据，即和已有的数据是独立同分布的，或者近似独立同分布的。一般有以下方法：
从数据源头获取更多数据：这个是容易想到的，例如物体分类，我就再多拍几张照片好了；但是，在很多情况下，大幅增加数据本身就不容易；另外，我们不清楚获取多少数据才算够；
数据增强（Data Augmentation）：通过一定规则扩充数据。如在物体分类问题里，物体在图像中的位置、姿态、尺度，整体图片明暗度等都不会影响分类结果。我们就可以通过图像平移、翻转、缩放、切割等手段将数据库成倍扩充；
根据当前数据集估计数据分布参数，使用该分布产生更多数据：这个一般不用，因为估计分布参数的过程也会代入抽样误差。
（2）Early stopping
对模型进行训练的过程即是对模型的参数进行学习更新的过程，这个参数学习的过程往往会用到一些迭代方法，如梯度下降（Gradient descent）学习算法。Early stopping便是一种迭代次数截断的方法来防止过拟合的方法，即在模型对训练数据集迭代收敛之前停止迭代来防止过拟合。
Early stopping方法的具体做法是，在每一个Epoch结束时（一个Epoch集为对所有的训练数据的一轮遍历）计算validation data的accuracy，当accuracy不再提高时，就停止训练。这种做法很符合直观感受，因为accurary都不再提高了，在继续训练也是无益的，只会提高训练的时间。那么该做法的一个重点便是怎样才认为validation accurary不再提高了呢？并不是说validation accuracy一降下来便认为不再提高了，因为可能经过这个Epoch后，accuracy降低了，但是随后的Epoch又让accuracy又上去了，所以不能根据一两次的连续降低就判断不再提高。一般的做法是，在训练的过程中，记录到目前为止最好的validation accuracy，当连续10次Epoch（或者更多次）没达到最佳accuracy时，则可以认为accuracy不再提高了。此时便可以停止迭代了（Early Stopping）。这种策略也称为“No-improvement-in-n”，n即Epoch的次数，可以根据实际情况取，如10、20、30……
（3）正则化方法
正则化方法是指在进行目标函数或代价函数优化时，在目标函数或代价函数后面加上一个正则项，一般有L1正则与L2正则等。
- L1正则
L1正则是基于L1范数，即在目标函数后面加上参数的L1范数和项，即参数绝对值和与参数的积项，即：
其中C0C0代表原始的代价函数，nn是样本的个数，λλ就是正则项系数，权衡正则项与C0C0项的比重。后面那一项即为L1正则项。
在计算梯度时，ww的梯度变为： - 其中，sgnsgn是符号函数，那么便使用下式对参数进行更新：
对于有些模型，如线性回归中（L1正则线性回归即为Lasso回归），常数项bb的更新方程不包括正则项，即：
其中，梯度下降算法中，α<0,β<0α<0,β<0，而在梯度上升算法中则相反。
从上式可以看出，当ww为正时，更新后ww会变小；当ww为负时，更新后ww会变大；因此L1正则项是为了使得那些原先处于零（即|w|≈0|w|≈0）附近的参数ww往零移动，使得部分参数为零，从而降低模型的复杂度（模型的复杂度由参数决定），从而防止过拟合，提高模型的泛化能力。
其中，L1正则中有个问题，便是L1范数在0处不可导，即|w||w|在0处不可导，因此在ww为0时，使用原来的未经正则化的更新方程来对ww进行更新，即令sgn(0)=0sgn(0)=0，这样即： - L2正则
L2正则是基于L2范数，即在目标函数后面加上参数的L2范数和项，即参数的平方和与参数的积项，即：
其中C0C0代表原始的代价函数，nn是样本的个数，与L1正则化项前面的参数不同的是，L2项的参数乘了1212，是为了便于计算以及公式的美感性，因为平方项求导有个2，λλ就是正则项系数，权衡正则项与C0C0项的比重。后面那一项即为L2正则项。
L2正则化中则使用下式对模型参数进行更新：
对于有些模型，如线性回归中（L2正则线性回归即为Ridge回归，岭回归），常数项bb的更新方程不包括正则项，即：
其中，梯度下降算法中，α<0,β<0α<0,β<0，而在梯度上升算法中则相反。
从上式可以看出，L2正则项起到使得参数ww变小加剧的效果，但是为什么可以防止过拟合呢？一个通俗的理解便是：更小的参数值ww意味着模型的复杂度更低，对训练数据的拟合刚刚好（奥卡姆剃刀），不会过分拟合训练数据，从而使得不会过拟合，以提高模型的泛化能力。
在这里需要提到的是，在对模型参数进行更新学习的时候，有两种更新方式，mini-batch （部分增量更新）与 full-batch（全增量更新），即在每一次更新学习的过程中（一次迭代，即一次epoch），在mini-batch中进行分批处理，先使用一部分样本进行更新，然后再使用一部分样本进行更新。直到所有样本都使用了，这次epoch的损失函数值则为所有mini batch的平均损失值。设每次mini batch中样本个数为mm，那么参数的更新方程中的正则项要改成：
而full-batch即每一次epoch中，使用全部的训练样本进行更新，那么每次的损失函数值即为全部样本的误差之和。更新方程不变。 - 总结
正则项是为了降低模型的复杂度，从而避免模型区过分拟合训练数据，包括噪声与异常点（outliers）。从另一个角度上来讲，正则化即是假设模型参数服从先验概率，即为模型参数添加先验，只是不同的正则化方式的先验分布是不一样的。这样就规定了参数的分布，使得模型的复杂度降低（试想一下，限定条件多了，是不是模型的复杂度降低了呢），这样模型对于噪声与异常点的抗干扰性的能力增强，从而提高模型的泛化能力。还有个解释便是，从贝叶斯学派来看：加了先验，在数据少的时候，先验知识可以防止过拟合；从频率学派来看：正则项限定了参数的取值，从而提高了模型的稳定性，而稳定性强的模型不会过拟合，即控制模型空间。
另外一个角度，过拟合从直观上理解便是，在对训练数据进行拟合时，需要照顾到每个点，从而使得拟合函数波动性非常大，即方差大。在某些小区间里，函数值的变化性很剧烈，意味着函数在某些小区间里的导数值的绝对值非常大，由于自变量的值在给定的训练数据集中的一定的，因此只有系数足够大，才能保证导数的绝对值足够大。如下图（引用知乎）：
另外一个解释，规则化项的引入，在训练（最小化cost）的过程中，当某一维的特征所对应的权重过大时，而此时模型的预测和真实数据之间距离很小，通过规则化项就可以使整体的cost取较大的值，从而，在训练的过程中避免了去选择那些某一维（或几维）特征的权重过大的情况，即过分依赖某一维（或几维）的特征（引用知乎）。
L2与L1的区别在于，L1正则是拉普拉斯先验，而L2正则则是高斯先验。它们都是服从均值为0，协方差为1λ1λ。当λ=0λ=0时，即没有先验）没有正则项，则相当于先验分布具有无穷大的协方差，那么这个先验约束则会非常弱，模型为了拟合所有的训练集数据， 参数ww可以变得任意大从而使得模型不稳定，即方差大而偏差小。λλ越大，标明先验分布协方差越小，偏差越大，模型越稳定。即，加入正则项是在偏差bias与方差variance之间做平衡tradeoff（来自知乎）。下图即为L2与L1正则的区别：
上图中的模型是线性回归，有两个特征，要优化的参数分别是w1和w2，左图的正则化是L2，右图是L1。蓝色线就是优化过程中遇到的等高线，一圈代表一个目标函数值，圆心就是样本观测值（假设一个样本），半径就是误差值，受限条件就是红色边界（就是正则化那部分），二者相交处，才是最优参数。可见右边的最优参数只可能在坐标轴上，所以就会出现0权重参数，使得模型稀疏。
其实拉普拉斯分布与高斯分布是数学家从实验中误差服从什么分布研究中得来的。一般直观上的认识是服从应该服从均值为0的对称分布，并且误差大的频率低，误差小的频率高，因此拉普拉斯使用拉普拉斯分布对误差的分布进行拟合，如下图：
而拉普拉斯在最高点，即自变量为0处不可导，因为不便于计算，于是高斯在这基础上使用高斯分布对其进行拟合，如下图：
具体参见：正态分布的前世今生
（4）Dropout
正则是通过在代价函数后面加上正则项来防止模型过拟合的。而在神经网络中，有一种方法是通过修改神经网络本身结构来实现的，其名为Dropout。该方法是在对网络进行训练时用一种技巧（trick），对于如下所示的三层人工神经网络：
对于上图所示的网络，在训练开始时，随机得删除一些（可以设定为一半，也可以为1/3，1/4等）隐藏层神经元，即认为这些神经元不存在，同时保持输入层与输出层神经元的个数不变，这样便得到如下的ANN：
然后按照BP学习算法对ANN中的参数进行学习更新（虚线连接的单元不更新，因为认为这些神经元被临时删除了）。这样一次迭代更新便完成了。下一次迭代中，同样随机删除一些神经元，与上次不一样，做随机选择。这样一直进行瑕疵，直至训练结束。
Dropout方法是通过修改ANN中隐藏层的神经元个数来防止ANN的过拟合。具体可参见这里。
（5）结合多种模型
模型的bias和Variance会影响过拟合、欠拟合，即bias越大，模型越欠拟合、Variance越大，模型越过拟合。这里多说一点，Variance和bias是trade off, 我为了让模型处处更准（小的bias），往往会导致模型过拟合（大的Variance，即每次判定不稳定）
- bagging. (bootstrap aggregation), 采用多次对样本的采样，并行进行多个模型的训练，最终对分类结果进行投票获得最终结果。这中方法可以减小模型的Variance。因为bagging是多个强分类器的组合，每个强分类器的Variance高。 数学上，由于bagging的模型不是完全独立的，因此var(avg(x))/n < bagging < var(avg(x))， 所以可以起到降低Variance的作用。
- boosting。串行地进行采样的模型训练，即比如每次取上个模型的错分样本。它是多个弱分类器的组合，每个弱分类器的bias高，组成强分类器后，bias就变低了。由于boosting 是迭代地进行损失最小化，越往后，模型的bias越小。
（6）选择合适的模型
这主要是解决数据量与模型参数之间的矛盾，即固定数据量只能支撑对应的参数量的模型的拟合（通俗的说，几十个几百个数据就不要使用深度网络了）。该方法主要可以从四个方面入手：
1.简化网络结构，如层数，单层神经元个数
2.增加噪声：
a、在输入中增加噪声
噪声会随着网络传播，按照权值的平方放大，并传播到输出层，对误差 Cost 产生影响。推导直接看 Hinton 的 PPT 吧：
在输入中加高斯噪声，会在输出中生成 的干扰项。训练时，减小误差，同时也会对噪声产生的干扰项进行惩罚，达到减小权值的平方的目的，达到与 L2 regularization 类似的效果（对比公式）。
b、在权值上加噪声
在初始化网络的时候，用0均值的高斯分布作为初始化。Alex Graves 的手写识别 RNN 就是用了这个方法："A novel connectionist system for unconstrained handwriting recognition." IEEE transactions on pattern analysis and machine intelligence 31.5 (2009): 855-868.
c、对网络的响应加噪声
如在前向传播过程中，让默写神经元的输出变为 binary 或 random。显然，这种有点乱来的做法会打乱网络的训练过程，让训练更慢，但据 Hinton 说，在测试集上效果会有显著提升 （But it does significantly better on the test set!）。