Haar变换

案例一简单一维信号变换

下面是一个一维信号（一组数）： $f = \{2, 2, 2, 4, 4, 4\}$

我对这个信号进行如下处理：

$a_m = \sqrt{2}\frac{f_{2m-1}+f_{2m}}{2} = \frac{f_{2m-1}+f_{2m}}{\sqrt{2}}$ （相邻两个数相加，求平均，然后乘以 $\sqrt{2}$ ）

$d_m = \sqrt{2}\frac{f_{2m-1}-f_{2m}}{2} = \frac{f_{2m-1}-f_{2m}}{\sqrt{2}}$ （相邻两个数相减，求平均，然后乘以 $\sqrt{2}$ ）

注：至于为什么要乘以 $\sqrt{2}$ 呢？我们这里先不解释，放到后面再说。

然后按照先 $a$ 后 $d$ 的顺序排列 ${a_1,a_2,...,a_{N/2}, d_1, d_2, ..., d_{N/2}}$ （ $N$ 是离散信号中的值的个数）

则， $a = \{2\sqrt{2}, 3\sqrt{2}, 4\sqrt{2}\}$ ， $d=\{0, -\sqrt{2}, 0\}$

我们可以得到结果： $tf = \{2\sqrt{2}, 3\sqrt{2}, 4\sqrt{2}, 0, -\sqrt{2}, 0\}$

这就是传说中的Haar变换了……

$a$ 表示的是信号的趋势（trend），近似（approximation），是低频信息；而 $d$ 表示的是信号的细节（detail），是高频信息。

那么我们怎么变回去呢？我们对变换以后的信号进行如下处理：

$f_{2m-1} = \sqrt{2}\frac{a_m +d_m}{2} = \frac{a_m +d_m}{\sqrt{2}}$ （第 $m$ 个 $a$ 和 $d$ 相加，求平均，然后乘以 $\sqrt{2}$ ）

$f_{2m} = \sqrt{2}\frac{a_m -d_m}{2} = \frac{a_m -d_m}{\sqrt{2}}$ （第 $m$ 个 $a$ 和 $d$ 相减，求平均，然后乘以 $\sqrt{2}$ ）

我们可以得到结果 $if = \{2, 2, 2, 4, 4, 4\}$

这样就是Haar变换的逆变换。

通过观察，我们可以发现：

$d$ 中的数字绝大部分都很小（这是做信息压缩很重要的依据）
变换前后信号的能量保持不变，即 $\sum{f_i^2} = \sum{a_m^2} + \sum{d_i^2}$ （有兴趣的同学可以算一下对于 $f$ 和 $tf$ 的能量都是60，刚好相等）

我们可以按照上面的思路将信号对得到的低频信号（ $a$ ）一直一直划分下去，直到 $\mathrm{log}_2N$ （离散信号的值的数目不是偶数的，可以在后面补0）

给定如下的一个信号： $f(t) = 20x^2(1-x)^4\cos(12\pi x)$

我们通过在[0, 1]之间取样1024个点可以得到信号的振幅，绘制出信号图像如下：
小波变换一之Haar变换
我们可以通过案例一种描述的方法进行Haar变换，我们这里对 $f(t)$ 信号进行两次Haar变换，如下图所示：

这是多分辨率分析（Multi-Resolution Analysis，MRA）以及图像压缩（JPEG2000编码）等的基础理念，这里现有一个大概理解，后面我们会继续谈到。

变换的结果如下（感兴趣的朋友可以使用Mathematica或者MATLAB是一样，这两个数学软件都提供了对Haar变换的直接支持）：
小波变换一之Haar变换

好了，这一节先到这里，我们以后有时间慢慢聊！