CNN中卷积核与卷积运算的前向推导与推导过程
@CNN中卷积核与卷积运算的前向推导与推导过程
作者：技术烧
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来源：简书
CNN神经网络算法是常用的模式识别算法，该算法通过卷积运算将图片特征存储到多个卷积核中，卷积核通过算法的反向传输一步步逼近于图片特征，最常用的反向传导方法是BP反向传导方法，采用最速下降法，将结果误差传递到每一个过程参数中，对于该方法在后面会做专门的介绍，本文主要介绍CNN神经网络中卷积步骤的前向与反向传导过程。
为何会专门开这个题目来讨论，因为在很多的博文中，只是很随意介绍该算法的过程，更多的是通过抄袭而来，让很多的读者感到困惑，另外，由于matlab中的conv2函数是严格按照卷积运算而来，因此很多人会困惑翻转问题，因此本博文将仔细介绍下整个卷积过程与反向卷积过程。后面将会推出关于卷积意义的探讨。
1、卷积过程
根据离散二维卷积公式，有：
其中A为被卷积矩阵，K为卷积核，B为卷积结果，该公式中，三个矩阵的排序均从0开始，即A矩阵的序号如下所示：
由于该矩阵的序号排列方式与我们平时的书写方式不同，为了方便，我将上面卷积公式改写成下面的公式，后面的分析也用该公式进行分析：
该公式所用矩阵就是我们所熟悉的从A11开始的矩阵了：
现在对于上面卷积过程进行分析：我们用来做例子的A矩阵为m* m(3* 3)二维矩阵，K为n*n(2 *2)的二维矩阵。
卷积过程先将卷积核逆时针旋转180°，被卷积矩阵扩展到(m+n)*(m+n)大小，将扩展部分用0代替，其序号用负数代替，即如下所示：
即有B11=A00* K22+A01* K21+A10* K12+A11* K11 (1)
同理：
B12=A01* K22+A02* K21+A11* K12+A12* K11
B13=A02* K22+A03 * K21+A12* K12+A13* K11
B14=A03* K22+A04* K21+A13* K12+A14* K11
B21=A10* K22+A11* K21+A20* K12+A21* K11
B22=A11* K22+A12* K21+A21* K12+A22* K11
B23=A12* K22+A13* K21+A22* K12+A23* K11
B24=A13* K22+A14* K21+A23* K12+A24* K11
B31=A20* K22+A21* K21+A30* K12+A31* K11
B32=A21* K22+A22* K21+A31* K12+A32* K11
B33=A22* K22+A23* K21+A32* K12+A33* K11
B34=A23* K22+A24* K21+A33* K12+A34* K11
B41=A30* K22+A31* K21+A40* K12+A41* K11
B42=A31* K22+A32* K21+A41* K12+A42* K11
B43=A32* K22+A33* K21+A42* K12+A43* K11
B44=A33* K22+A34* K21+A43* K12+A44* K11
以上便是整个卷积计算过程，在Matlab中可用conv2函数进行卷积计算：
B=conv2(A,K,’full’);
Conv2函数的第一个输入参数为被卷积矩阵，第二个为卷积核，第三个参数可输入卷积输出形式，总共有三个：‘full’,‘same’和‘valid’,用下面的例子便可以看出这三个的区别：
A=[1 2 3
4 5 6
7 8 9];
K=[1 2
3 4];
B=conv2(A,K,‘full’)
C=conv2(A,K,‘same’)
D=conv2(A,K,‘valid’)
输出结果为：
B =
1 4 7 6
7 23 33 24
19 53 63 42
21 52 59 36
C =
23 33 24
53 63 42
52 59 36
D =
23 33
53 63
‘full’的输出结果为n+m-1,’same’的输出结果为m,’valid’的输出结果为m-n+1。在CNN算法的前向过程，其卷积是’valid’型卷积，因此我们只对’valid’型卷积的反向推导过程进行推导，另外两种类型的推导类似。
2、卷积过程的反向推导
假设最终误差E传递到B处的误差为C，B11的误差为C11，B12的误差为C12…，当其前向运算为’valid’类型时则其误差矩阵可表示为以下C矩阵：
（a）对A矩阵进行求导
根据矩阵传递规则，有下面传递性质：
现将上面公式组（1）进行组合，举例对A22进行求导：
E=C22+C23+C32+C33
则有：
同理，可对A矩阵其他成员进行求导，可得出规律是：矩阵A的误差是矩阵B的误差C与卷积核K’（K’是卷积核K旋转180°的矩阵）的卷积。
因此当matlab中，输入的前向函数为：B=conv2(A,K,’valid’);
其对A误差的反向传递为：
（b）对卷积核K矩阵进行求导
与对A求导原理相同，现对K11进行求导如下：
则有：
K的其他成员的求导同样可以用该方式求取，为了方便我们观察，我们再对K22求导：
我们可以总结规律：
当matlab中，输入的前向函数为：
B=conv2(A,K,’valid’);
其对K的反向函数为：
由于网上多个编辑的版本，导致有时候在是否转动180°的问题上犯困难，因此
应为其前向与反向统一公式
另外，我也给出了另外一种习惯的前向反向公式：
当个输入前向函数为：
B=conv2(A,rot90(K,2),’valid’);
其对A的反向函数为：
对K的反向函数为：