我们知道，有时候在原样本空间内并不能很好的给训练样本分类，但是把原样本空间映射到一个更高维空间后，就可以得到较好的分类，例如异或函数的取值。

相应的

 

那么，我们究竟该怎么理解k(xi, xj)呢？

1.首先根据k(xi, xj)的定义，我们给出一个具体的例子

k(xi, xj)的定义为：

 

eg:

假设原特征空间为二维的(x1, x2)，映射到三维后为(x1*x1, *x1*x2, x2*x2)，那么，我们就可以取核函数k(x, y) = <x, y>*<x, y>

验证：设x = (x1, x2)，y = (y1, y2)，映射后X = (x1*x1, *x1*x2, x2*x2)， Y = (y1*y1,  *y1*y2, y2*y2)。

则内积<X, Y> = x1*x1*y1*y1 + 2*x1*x2*y1*y2 + x2*x2*y2*y2。

k(x, y) = (x1*y1 + x2*y2) ^ 2 = x1*x1*y1*y1 + 2*x1*x2*y1*y2 + x2*x2*y2*y2 = <X，Y>

2.现在考虑一下，为什么要令核函数等于内积？

Answer:

两个特征向量的角度不同，模数不同，内积就不同，换句话说，内积可以显示出两个特征向量的相似度，那么核函数就是为了表示

两个特征向量的核函数。

3.以高斯核函数为例，结合以上两点作具体分析

高斯核函数的||xi - xj||项就是衡量两个特征向量的相似度的，相似度越高，||xi - xj||越接近0，核函数的值越接近1，反之，核函数的

值就越接近0。来看下图，

 

x轴和y轴各代表一个一维向量，z轴代表k(x，y)的值，可以看出，在xy平面的对角线上，x = y，对应的k(x, y)为1，离对角线越远

代表x和y的相似度越低，k(x,y)越小。

 

下面给出高斯核函数将数据映射到高维甚至无穷维的原理，为了便于计算，我们令高斯核的带宽为1。