相机标定原理：绝对圆锥曲线

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在进一步了解相机标定前，有必要了解绝对圆锥曲线（Absolute Conic）这一概念。

 
对于一个3D空间的点，其投影空间的坐标为：。我们定义无穷远处的平面用符号表示，该平面内的投影空间点坐标满足，则位于圆锥曲线上的点满足：

令是绝对圆锥曲线上的点，如上图所示。由定义可知，同时也有满足。读至此处，我们发现不管是和，还是和都是存粹想象出来的，很难在实际生活里找到实例，但是科学就是这么迷人，给定一个起始点，想象和求知探索的渴求却不受其限制，直至永无止境。

让我们再看公式，如果我们令：，，显而易见，位于曲线上的点方程就可以写成：，这就是一个圆方程，只不过我们所想象出来的这个虚拟圆的半径为，当然对于了解复数（Complex number）概念的我们，这并没什么不可。

此时，或许我们会困惑，为什么要费尽心机想象出绝对圆锥曲线呢？原因在于绝对圆锥曲线所具有的一条重要特性：对于刚体变换具有不变性，这么说是不是有点不明觉厉，那就继续往下看。

首先简单讲一下刚体变换：只有物体的位置（平移变换）和朝向（旋转变换）发生改变，而形状不变，得到的变换称为刚体变换。以三维刚体变换为例：

或者表述为： 

令，对于位于绝对圆锥曲线上的点，刚体变换后的点可表示为：

则很明显也是位于无穷远平面上的点，而且是位于同一绝对圆锥曲线上点：

令绝对圆锥曲线对应的图像称为，也被简记为IAC（Image of the absolute conic），当然这也是想象出来的~于是对于上的任一点，其像点满足：

因此，绝对圆锥曲线成像构成一个虚构曲线，并且由公式可以看出，这个虚拟曲线由决定，这与相机的外参完全无关，而仅仅由相机内参决定。可以设想，如果我们找到了绝对圆锥曲线通过相机所成的图像，那就可以求解出相机内参。至此，我想大家也就明白为什么会提出Absolute Conic这一概念了吧。事实上，这一理论在相机自检校标定法（Self-calibration）中作为基础理论，十分重要。

后续文章将会为大家介绍几种确定绝对圆锥曲线对应的图像的方法。