斯坦福大学公开课-傅里叶变换及其应用-学习记录5-采样和插值

本片对应视频16-19节讲义第五章

Ш函数的引入

斯坦福大学公开课-傅里叶变换及其应用-学习记录5-采样和插值
现在有一个函数如上图左所示，如果要把它周期延拓至无穷远如上右图，可以写出 $P_{ρ} (x)$ 的表达式为：

P_{ρ} (x) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} P (x - k T) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} P (x) * δ (x - k T)

(利用

δ

的位移性质)
还可进一步写为：

P (x) * \sum_{k = - \infty}^{\infty} δ (x - k T)

于是将

\sum_{k = - \infty}^{\infty} δ (x - k T)

定义为Ш函数，一般将周期

T

写为

p

，因此有

Ш p = \sum_{k = - \infty}^{\infty} δ (x - k p)

容易理解， $Ш_{p}$ 函数包含了无穷多个 $δ$ 函数，每个 $δ$ 函数之间的间隔为 $p$ ，因此 $Ш_{p}$ 也可被表示为：

Ш_{p} = \sum_{k = - \infty}^{\infty} δ_{k p}

Ш函数的功能

在上面看到了将一个函数 $P (x)$ 与 $Ш_{p}$ 做卷积，得到的是将 $P (x)$ 往无穷远处延拓的函数 $P_{ρ} (x)$ ，因此 $Ш$ 函数可以使一个函数周期化。
这是 $Ш$ 函数卷积的作用，那么现在来考虑 $Ш$ 的乘法：

f (x) Ш (x) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (x) δ (x - k) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (k) δ (x - k)

注意到这个求和式中的每一项都是

δ

函数乘上了一个系数，从上一节就可以看出，对于

δ

函数乘上一个系数直观上不会影响它的表达式，但是在它被用作分布作用于测试函数上时，这个系数就会影响到最终的结果，因此

Ш

函数与一个函数

f (x)

做乘法，会将

f (x)

的在

x = k

时的所有函数值都记录在了结果的那个求和式中，因此

Ш

函数的乘法完成了对函数

f (x)

在

x = k

处的采样。对于

Ш_{p} (x)

有

f (x) Ш_{p} (x) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (k p) δ (x - k p)

，它将所有

x = k p

时的函数值记录下来，即对

f (x)

在所有的

x = k p

处的采样。

总结一下： $Ш$ 函数用作卷积时，实现了对目标函数的周期延拓；用作乘法时，实现了对目标函数的采样。

有的时候会用到 $Ш (p x)$ ，它的表达式为：

Ш (p x) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} δ (p x - k) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} δ (p (x - \frac{k}{p}))

由δ的拉伸特性，可得：

δ (p (x - \frac{k}{p})) = \frac{1}{| p |} δ (x - \frac{k}{p})

因此：

Ш (p x) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} \frac{1}{p} δ (x - \frac{k}{p}) = \frac{1}{p} \sum_{k = - \infty}^{\infty} δ (x - \frac{k}{p}) = \frac{1}{p} Ш_{\frac{1}{p}} (x)

由此也不难得出：

Ш_{p} (x) = \frac{1}{p} Ш (\frac{x}{p})

Ш函数的傅里叶变换

首先来看泊松求和公式：

\sum_{k = - \infty}^{\infty} F f (k) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (k)

这个式子看上去似乎有点不可思议，不过它是可以证明的：
设 $g (t) = (f * Ш) (t) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (t - k)$
现在来考虑 $g (t)$ 的傅里叶级数：

g (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} C_{n} e^{2 π i n t}

C_{n} = \int_{0}^{1} e^{- 2 π i n t} g (t) d t = \int_{0}^{1} e^{- 2 π i n t} \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (t - k) d t = \sum_{k = - \infty}^{\infty} \int_{0}^{1} e^{- 2 π i n t} f (t - k) d t

换元：设

u = t - k

得：

\sum_{k = - \infty}^{\infty} \int_{0}^{1} e^{- 2 π i n t} f (t - k) d t = \sum_{k = - \infty}^{\infty} \int_{- k}^{- k + 1} e^{- 2 π i n (u + k)} f (u) d u = \int_{- \infty}^{- \infty} e^{- 2 π i n u} f (u) d u = F f (n)

因此

C_{n} = F f (n)

，代入傅里叶级数：

g (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} F f (n) e^{2 π i n t}

又有

g (t) = (f * Ш) (t) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (t - k)

因此

\sum_{n = - \infty}^{\infty} F f (n) e^{2 π i n t} = \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (t - k)

取

t = 0

得：

\sum_{n = - \infty}^{\infty} F f (n) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (- k) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (k)

这就是泊松求和公式的证明。
有了这么一个公式，来考虑 $Ш$ 函数的傅里叶变换，依旧利用分布的做法：

< F Ш, ϕ >=< Ш, F ϕ >= \sum_{k = - \infty}^{\infty} F ϕ (k) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} ϕ (k) =< Ш, ϕ >

因此

F Ш = Ш

，即

Ш

函数的傅里叶变换是它本身。
而对于

Ш_{p} = \frac{1}{p} Ш (\frac{1}{p} x)

由傅里叶变换的拉伸特性，得

F Ш_{p} (x) = \frac{1}{p} \cdot p F Ш (p x) = Ш (p x) = \frac{1}{p} Ш_{\frac{1}{p}} (x)

因此可以看到 $Ш$ 函数的间隔越大，其傅里叶变换的间隔越小。

采样定理

前面提到了卷积有一个应用——低通滤波，将信号中低频成分保留，高频成分除去。如果一个信号本身就只含有频率范围为 $[0, \frac{p}{2}]$ 的成分，那么就称该信号的带宽为 $p$ 。

采样定理：对于带宽为P的信号，以 $\frac{1}{p}$ 为间隔采样，如果能获取所有的采样点 $f (\frac{k}{p}) 的值$ ，就可以得到该信号在任意点处的值。

这又是个看上去非常不可思议的东西，那么下面来证明：
由于信号的带宽是有限的，如果对其做周期延拓 $F f (s) * Ш_{p}$ ，应该满足

F f (s) = Π_{p} (F f (s) * Ш_{p})

等式两边同时做傅里叶逆变换：得

f (t) = F^{- 1} (Π_{p} (F f (s) * Ш_{p})) = (F^{- 1} Π_{p}) * (F^{- 1} (F f (s) * Ш_{p})) =

(p s i n c (p t)) * (f (t) \cdot F^{- 1} Ш_{p} (t)) = (p s i n c (p t)) * (f (t) \cdot \frac{1}{p} Ш_{\frac{1}{p}} (t))

(p s i n c (p t)) * (f (t) \cdot \frac{1}{p} \sum_{k = - \infty}^{\infty} δ (t - \frac{k}{p})) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} (s i n c (p t)) * (f (\frac{k}{p}) \cdot δ (t - \frac{k}{p}))

= \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (\frac{k}{p}) (s i n c (p t) * δ (t - \frac{k}{p})) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (\frac{k}{p}) (s i n c (p (t - \frac{k}{p})))

上式表明，如果已知所有的 $f (\frac{k}{p})$ ，对它们做插值就可以求出 $f (t)$ 。( $t$ 为任意值)

对采样定理的认识

为了方便，取 $p = 1$ ，则采样定理的公式变为：

f (t) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (k) s i n c (t - k)

先来看

s i n c (t - k)

的性质：由帕斯瓦尔定理：

\int_{- \infty}^{\infty} s i n c (t - m) s i n c (t - n) d t = \int_{- \infty}^{\infty} (e^{- 2 π i s n} Π (s)) \bar{(e^{- 2 π i s n} Π (s))} d s

= \int_{- \infty}^{\infty} e^{- 2 π i s (m - n)} Π (s) Π (s) d s = \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} e^{- 2 π i s (m - n)} d s

显然当 $m \neq n$ 时，上式为0，当 $m = n$ 时，上式为1。也就是说当 $s i n c (t - m)$ 、 $s i n c (t - n)$ 是正交的。
再看 $f (t)$ 与 $s i n c (t - k)$ 的内积：

(f (t), s i n c (t - k)) = \int_{- \infty}^{\infty} f (t) s i n c (t - k) d t = \int_{- \infty}^{\infty} F f (s) \bar{F (s i n c (t - k))} d s

= \int_{- \infty}^{\infty} F f (s) \bar{e^{- 2 π i s k} Π (s)} d s = \int_{- \infty}^{\infty} F f (s) e^{2 π i s k} Π (s) d s = \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} F f (s) e^{2 π i s k} d s

由于

f

的带宽为1，因此

\int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} F f (s) e^{2 π i s k} d s = \int_{- \infty}^{\infty} F f (s) e^{2 π i s k} d s = f (k)

因此

f (t)

与

s i n c (t - k)

的内积就是

f (k)

！
好了，现在重新来看采样定理的这个式子：

f (t) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (k) s i n c (t - k)

其中

s i n c (t - k) (k = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots \dots)

是一组正交基，而

f (k)

是

f (t)

与

s i n c (t - k)

的内积，即

f (t)

在

s i n c (t - k)

上的投影！也就是说采样定理实质上和傅里叶级数一样，都是将函数看做无限维的向量，然后取了一组维数为无穷的基，将原函数分别投影在了这一组基上！

采样定理的注意事项

采样定理要求能够获取所需要的无穷个采样点的信息，实际情况肯定不能满足这一要求，因为现实世界中的信号在时间上是有限的，在频率上也是有限，但是从数学的角度来分析，一个信号是不可能同时在时域和频域上都受到限制的。
假如信号在频域上受限，即满足：

F f = Π_{p} (F f)

因此

f (t) = p s i n c (p t) * f (t)

sinc是无限延伸的，因此

f (t)

也是无限延伸的。
也就是说实际情况与数学理论是存在矛盾的，这就是下一章离散傅里叶变换的内容了。

还有一点就是采样定理中 $p$ 的选取问题，推导的时候是选取 $p$ 就为带宽，但是实际情况可能根本就不知道信号的带宽，如果说采样的 $p^{'}$ 选取低于带宽，就会导致混叠现象；如果高于带宽，不会影响最终计算的正确性。具体可看讲义和课程，这里就不详细描述了。