线性回归及梯度下降算法详解
一、线性回归问题
回归最简单的定义是，给出一个点集D，用一个函数去拟合这个点集，并且使得点集与拟合函数间的误差最小，如果这个函数曲线是一条直线，那就被称为线性回归，如果曲线是一条二次曲线，就被称为二次回归。
总的来说，回归的目的就是建立一个回归方程用来预测目标值，回归的求解就是求这个回归方程的回归系数。预测的方法当然十分简单，回归系数乘以输入值再全部相加就得到了预测值。
下面以一元线性回归为例来解释线性回归的概念，下图1为某地区的房屋面积(feet)与价格的一个数据集，在该数据集中，只有一个自变量面积(feet)，和一个因变量价格，所以我们可以将数据集呈现在二维空间上，如图2所示。利用该数据集，我们的目的是训练一个线性方程，无限逼近所有数据点，然后利用该方程与给定的某一自变量（本例中为面积），可以预测因变量（本例中为房价）。本例中，训练所得的线性方程如图3所示。
线性回归的目的就是找到预测性能最好的线性方程：
如果再在该案例中增添了一个自变量：房间数，数据集如下所示：
此时，预测性能最好的线性方程应为如下所示：
因此，无论是一元线性方程还是多元线性方程，可统一写成如下的格式：
因为参数只有θ，所以找到预测性能最好的线性方程换言之也就是找到最好的θ值，从而使得线性方程的预测最好。那么我们该如何评估线性函数h(x)的好坏呢，这时候我们引入损失函数(loss function)的概念，用它来评估线性函数的好坏。
损失函数J(θ)也就是对每个样本x(i)的估计值与真实值y(i)差的平方进行求和，得到整个样本预测的值跟真实值之间的差距和损失，现在找最优的线性方程的问题可转化为求解损失函数J(θ)的最小值。
如何调整θ以使得J(θ)取得最小值有很多方法，其中有最小二乘法(min square)和梯度下降法(Gradient Descent)。下面详细讲解梯度下降法。
二、梯度下降法
由上可知，原始问题已转化成求解J(θ)的最小值，也就是求解得到J(θ)取得最小值时θ0，θ1 … θn的值。这里采用梯度下降的方法来进行相应值的求解，找到损失函数的最小值。
我们先来看一张图来理解梯度下降的概念：
上图黑线即为梯度下降的走势，在给定初始点开始向下走，往最低的点一步一步向下进行，直到找到最小点。但是这里存在一个问题，初始点选择不好有可能导致梯度下降的最终点不是全局最小点，而是一个局部最小点，如上图紫色线所示，最终得到的值是一个局部最小点。
但是对于损失函数J(θ)为凸函数的情况，就不会存在上面的问题，它只有一个全局最优解，如下图所示：
所以由上可知，梯度下降的原理可以形象表示为：比如我们在一座大山上的某处位置，由于我们不知道怎么下山，于是决定走一步算一步，也就是在每走到一个位置的时候，求解当前位置的梯度，沿着梯度的负方向，也就是当前最陡峭的位置向下走一步，然后继续求解当前位置梯度，向这一步所在位置沿着最陡峭最易下山的位置走一步。这样一步步的走下去，一直走到觉得我们已经到了山脚。当然这样走下去，有可能我们不能走到山脚，而是到了某一个局部的山峰低处。
所以对于梯度下降法，它的主要步骤如下：
(1) 先确定向下一步的步伐大小，我们称为学习率α；
(2) 任意给定一个初始值：；
(3) 确定一个向下的方向，并向下走预先规定的步伐，并更新θ值；
(4) 当下降的高度小于某个定义的值ε，则停止下降。
它的核心算法可以用下面一张图来概括：
具体来说就是，α为学习率，决定了下降的步伐大小；损失函数J(θ)关于θ的偏导数决定了下降的方向；当损失函数J(θ)收敛时，停止更新θ的值。
最后强调一下，梯度下降的步伐大小（即学习率α）非常重要，因为如果太小，会使得找到损失函数最小值的速度变得很慢，如果α太大，则有可能会出现跳过最优的现象，从而找不到损失函数的最优解。在实际应用中，若损失函数的值不断变大，则有可能是步长速率a太大，导致算法不收敛，这时可适当调整a值。
三、梯度下降算法的优化调试
3.1、算法的步长选择
实际上，步长的取值取决于数据样本，可以多取一些值，从大到小，分别运行算法，看看迭代效果，如果损失函数在变小，说明取值有效，否则要增大步长。前面说了。步长太大，会导致迭代过快，甚至有可能错过最优解。步长太小，迭代速度太慢，很长时间算法都不能结束。所以算法的步长需要多次运行后才能得到一个较为优的值。
3.2、参数初始值的选择
初始值不同，获得的最小值也有可能不同，因此梯度下降求得的只是局部最小值；当然如果损失函数是凸函数则一定是最优解。由于有局部最优解的风险，需要多次用不同初始值运行算法，关键损失函数的最小值，选择损失函数最小化的初值。
3.3、归一化
由于样本不同特征的取值范围不一样，可能导致迭代很慢，为了减少特征取值的影响，可以对特征数据归一化，也就是对于每个特征x，求出它的平均值mean(x)、最大值max和最小值min，然后转化为： [x-mean(x)]/(max-min)。