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RGB转换到HSI的几何方法公式

假设RGB模型的 $R, G, B$ 值的取值范围为 $[0, 1]$ 。
HSI模型的三个分量：强度( $I$ )，色调( $H$ )，饱和度( $S$ )的计算公式如下：

I = \frac{1}{3} (R + G + B)

S = 1 - \frac{3 [min (R, G, B)]}{(R + G + B)}

H = {\begin{cases} θ, & B \leq G \\ 360 - θ, & B > G \end{cases}

式中：

θ = a r c c o s {\frac{\frac{1}{2} [(R - G) + (R - B)]}{[(R - G)^{2} + (R - B) (G - B)]^{\frac{1}{2}}}}

证明

HSI模型采用三棱锥还是圆锥或者圆柱都没有影响，因为它们之间可以直接相互映射，所以三者是等价的。这里用三角形来证明。
假设RGB值已经归一化。归一化方法为：

r = \frac{R}{R + G + B} （ 1 ）

g = \frac{G}{R + G + B} （ 2 ）

b = \frac{B}{R + G + B} （ 3 ）

即求出各个基色的强度所占的比例。注意到

r, g, b

实际上代表了各个三原色的强度占总体的比例，所以显然满足如下条件:

r + g + b = 1

另外仔细观察上图中的正三棱锥上的面

P_{B} P_{G} P_{R}

，该平面上的任意一点都代表了

R

值

G

值

B

值满足比例条件的色点。比如该平面上的点

(0.5, 0.2, 0.3)

代表的所

R : G : B = 0.5 : 0.2 : 0.3

的点。
另外给出几条假设和显然的前提条件：
（1）点

w

的坐标是

(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})

，因为正三角形。
（2）设三角形

P_{B} P_{G} P_{R}

上点的坐标为

(r, g, b)

。
（3）设连接坐标原点和W的向量为&w&，同样的有

p, p_{R}, p_{B}, p_{R}

。
（4）图中的直线

P_{R} Q_{R}, P_{B} Q_{B}, P_{G} Q_{G}

两两相交于W。
（5）设

r_{0} = \frac{R}{I}, g_{0} = \frac{G}{I}, b_{0} = \frac{B}{I}

。从图Fig.4.46(a)中可以看出对于直线

P_{R} Q_{R}

上的任意一点都有

g_{0} = b_{0}

，对于直线

P_{B} Q_{B}, P_{G} Q_{G}

也有类似的结论。
（6）对于三角形

P_{R} Q_{R} P_{G}

中的任意一点都有

g_{0} > b_{0}

，对于其他5个区域也有类似的结论。
（7）

\frac{| W Q_{R} |}{| P_{R} Q_{R} |} = \frac{1}{3} ， \frac{| W Q_{G} |}{| P_{G} Q_{G} |} = \frac{1}{3} ， \frac{| W Q_{B} |}{| P_{B} Q_{B} |} = \frac{1}{3}

，等边三角形的性质。
（8）RG扇区是三角形

W P_{R} P_{G}

所围成的区域。对于GB和BR扇区有类似结论。

$I$ 的证明

按照定义， $I = \frac{1}{3} (R + G + B)$ ，使其取值范围也在[0,1]，没有什么好说的。

$H$ 的证明

默认使用待求色点和r轴的夹角作为H。对于点 $p$ ，显然有下式成立：

(\vec{p} - \vec{w}) * (\vec{p_{R}} - \vec{w}) = ‖ \vec{p} - \vec{w} ‖ * ‖ \vec{p_{R}} - \vec{w} ‖ * c o s H （ 4 ）

将p点坐标

(r, g, b)

带入有：

‖ \vec{p} - \vec{w} ‖ = [(r - \frac{1}{3})^{2} + (g - \frac{1}{3})^{2}] + (b - \frac{1}{3})^{2}]^{1 / 2} （ 5 ）

将（1），（2），（3）带入（5）式可得：

‖ \vec{p} - \vec{w} ‖ = [\frac{9 (R^{2} + G^{2} + B^{2}) - 3 (R + G + B)^{2}}{9 (R + G + B)^{2}}]^{1 / 2} （ 6 ）

将

p_{R} (1, 0, 0)

和

W (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})

带入，有：

‖ \vec{p_{R}} - \vec{w} ‖ = (\frac{2}{3})^{1 / 2} （ 7 ）

通过向量的坐标运算可以得到：

\begin{array}{rcl} (1) & (\vec{p} - \vec{w}) * (\vec{p_{R}} - \vec{w}) & = & \frac{2}{3} (r - \frac{1}{3}) - \frac{1}{3} (g - \frac{1}{3}) - \frac{1}{3} (b - \frac{1}{3}) \\ (2) & = & \frac{2 R - G - B}{3 (R + G + B)} \end{array} （ 8 ）

由式子（4），（6），（7），（8）可得：

H = a r c c o s {\frac{\frac{1}{2} [(R - G) + (R - B)]}{[(R - G)^{2} + (R - B) (G - B)]^{1 / 2}}}

$S$ 的证明

计算方法：以图Fig.4.46(b)中的p点为例，设W向r轴和g轴所在的平面投影，交于点T，P和P’分别向直线WT投影，设分别交于点Q和T。计算p点饱和度的方法是 $S = \frac{| W P |}{W P^{'}}$ 。
在计算饱和度时，对于三角形来说，计算 $| W P |$ 来作为P点的饱和度是没有意义的并且是错误的，因为在我们采用的HSI模型中，点的坐标是 $(r, g, b)$ 而不是RGB模型中的 $(R, G, B)$ ，在这种情况下，其实向量本身也没有意义。我觉得可以这样理解，在P点所在的强度和色调不变的情况下，P’点是所能取到的最大的饱和度，因为白光强度为0。从W到P’的过程是饱和度不断增加的过程，而且是线性变化的。这样就可以用 $\frac{| W P |}{| W P^{'} |}$ 来表示了。注意到，如果是圆柱形的HSI模型，假设截面的半径是1的话，即 $| W P^{'} | = 1$ ，这样只需计算 $| W P |$ 即可，个人猜测如果将三角形的HSI转换到圆柱形的HSI，直接计算半径（将三角形HSI到圆柱HSI的转换公式作用于三角形的P的半径）就是上面给出的S的表达式。这里不再验证。
下面是计算过程，假设P点 $(r, g, b)$ 中， $b$ 小于 $r, g$ ，这样可以得到下式：

\begin{array}{rcl} (3) & S & = & \frac{| W P |}{| W P^{'} |} \\ (4) & = & \frac{| W Q |}{| W T |} \\ (5) & = & \frac{| W T | - | Q T |}{| W T |} \\ (6) & = & 1 - 3 b \end{array}

推广到 $g, r$ 最小的情况可得：

S = 1 - \frac{3}{(R + G + B)} [m i n (R, G, B)]

证毕。

参考资料

《数字图像处理》（冈萨雷斯）第三版
初入计算机，请大家多多指教嘛，共同学习~~~持续更新中……

【数字图像处理一】RGB模型转化为HSI模型的几何方法推导

RGB转换到HSI的几何方法公式

证明

II的证明

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