堆,堆的创建,插入,删除,建立
什么是堆
优先队列
( (Priority Queue ):特殊的“ 队列
” ,取出元素的顺序是依照元素的 优先权(关键字)
大小,而不是元素进入队列的先后顺序。
优先队列的完全二叉树表示
堆的两个特性
结构性 :用数组表示的完全二叉树;
有序性 : 任一结点的关键字是其子树所有结点的最大值(或最小值)
- “
最大堆(MaxHeap)
”, 也称“大顶堆
”:最大值 - “
最小堆( MinHeap)
”, 也称“小顶堆
” :最小值
堆的抽象数据类型描述
类型名称 : 最大堆 (MaxHeap)
数据对象集 : 完全二叉树
,每个结点的元素值 不小于
值其子结点的元素值
操作集 :最大堆H属于MaxHeap ,元素item属于ElementType ,主要操作有:
-
MaxHeap Create( int MaxSize )
:创建一个空的最大堆。 -
Boolean IsFull( MaxHeap H )
:判断最大堆H是否已满。 -
Insert( MaxHeap H, ElementType item )
:将元素item插入最大堆H。 。 -
Boolean IsEmpty( MaxHeap H )
:判断最大堆H是否为空。 -
ElementType DeleteMax( MaxHeap H )
:返回H中最大元素(高优先级)
最大堆的操作
最大堆的创建
#define Elemtype int
typedef struct HNode {
Elemtype *Data; /* 存储元素的数组 */
int Size; /* 堆中当前元素个数 */
int Capacity; /* 堆的最大容量 */
}*Heap;
MaxHeap CreateHeap(int MaxSize)
{ /* 创建容量为MaxSize的空的最大堆 */
MaxHeap H = (MaxHeap)malloc(sizeof(struct HNode));
H->Data = (Elemtype *)malloc((MaxSize + 1)*sizeof(Elemtype));
H->Size = 0;
H->Capacity = MaxSize;
H->Data[0] = MAXDATA; /* 定义"哨兵"为大于堆中所有可能元素的值*/
return H;
}
把MaxData换成小于堆中所有元素的MinData,同样适用于创建最小堆。
最大堆的插入
先满足结构性,将要插入元素插到最后一个,再调整位置,满足有序性
bool Insert(MaxHeap H, Elemtype X)
{ /* 将元素X插入最大堆H,其中H->Data[0]已经定义为哨兵 */
int i;
if (IsFull(H))
{
printf("最大堆已满");
return false;
}
i = ++H->Size; /* i指向插入后堆中的最后一个元素的位置 */
for (; H->Data[i / 2] < X; i /= 2)
H->Data[i] = H->Data[i / 2]; /* 上滤X */
H->Data[i] = X; /* 将X插入 */
return true;
}
H->Element[ 0 ] 是哨兵元素,它不小于堆中的最大元素。当插入的元素比任意元素都大,哨兵的存在使得H->Elements[0] > item; 顺环结束。
时间复杂度: O(log N)
最大堆的删除
取出根结点(最大值)元素,同时删除堆的一个结点。
用最后一个结点代替根结点,取根结点两孩子的较大的一个,若较大值大于此时的根节点,将该较大值移动至根结点,不断重复,直到找到最后一个结点该插入的位置。
Elemtype DeleteMax(MaxHeap H)
{ /* 从最大堆H中取出键值为最大的元素,并删除一个结点 */
int Parent, Child;
Elemtype MaxItem, X;
if (IsEmpty(H)) {
printf("最大堆已为空");
return ERROR;
}
MaxItem = H->Data[1]; /* 取出根结点存放的最大值 */
/* 用最大堆中最后一个元素从根结点开始向上过滤下层结点 */
X = H->Data[H->Size--]; /* 注意当前堆的规模要减小 */
for (Parent = 1; Parent * 2 <= H->Size; Parent = Child)
{
Child = Parent * 2;
if ((Child != H->Size) && (H->Data[Child]<H->Data[Child + 1]))
Child++; /* Child指向左右子结点的较大者 */
if (X >= H->Data[Child]) break; /* 找到了合适位置 */
else /* 下滤X */
H->Data[Parent] = H->Data[Child];
}
H->Data[Parent] = X;
return MaxItem;
}
最大堆的建立
建立最大堆
:将已经存在的N个元素
按最大堆的要求存放在一个一维数组中
方法1:通过插入操作,将N个元素一个个相继插入到一个初始为空的堆中去
,其时间代价最大为O(N logN)
。
方法2:在线性时间复杂度
下建立最大堆。
- 将N个元素按输入顺序存入,先满足
完全二叉树的结构特性
- 调整各结点位置,以满足最大堆的
有序特性
。
参考结点的删除,从最后一个结点的父节点开始,逐级向上,调整结点位置,调整到根结点时,即为大顶堆
/*----------- 建造最大堆 -----------*/
void PercDown(MaxHeap H, int p)
{ /* 下滤:将H中以H->Data[p]为根的子堆调整为最大堆 */
int Parent, Child;
Elemtype X;
X = H->Data[p]; /* 取出根结点存放的值 */
for (Parent = p; Parent * 2 <= H->Size; Parent = Child) {
Child = Parent * 2;
if ((Child != H->Size) && (H->Data[Child]<H->Data[Child + 1]))
Child++; /* Child指向左右子结点的较大者 */
if (X >= H->Data[Child]) break; /* 找到了合适位置 */
else /* 下滤X */
H->Data[Parent] = H->Data[Child];
}
H->Data[Parent] = X;
}
void BuildHeap(MaxHeap H)
{ /* 调整H->Data[]中的元素,使满足最大堆的有序性 */
/* 这里假设所有H->Size个元素已经存在H->Data[]中 */
int i;
/* 从最后一个结点的父节点开始,到根结点1 */
for (i = H->Size / 2; i>0; i--)
PercDown(H, i);
}
完整c++代码
#include<iostream>
#include<stdlib.h>
using namespace std;
#define Elemtype int
#define MAXDATA 1000 /* 该值应根据具体情况定义为大于堆中所有可能元素的值 */
typedef struct HNode {
Elemtype *Data; /* 存储元素的数组 */
int Size; /* 堆中当前元素个数 */
int Capacity; /* 堆的最大容量 */
}*Heap;
typedef Heap MaxHeap; /* 最大堆 */
typedef Heap MinHeap; /* 最小堆 */
MaxHeap CreateHeap(int MaxSize)
{ /* 创建容量为MaxSize的空的最大堆 */
MaxHeap H = (MaxHeap)malloc(sizeof(struct HNode));
H->Data = (Elemtype *)malloc((MaxSize + 1)*sizeof(Elemtype));
H->Size = 0;
H->Capacity = MaxSize;
H->Data[0] = MAXDATA; /* 定义"哨兵"为大于堆中所有可能元素的值*/
return H;
}
bool IsFull(MaxHeap H)
{
return (H->Size == H->Capacity);
}
bool Insert(MaxHeap H, Elemtype X)
{ /* 将元素X插入最大堆H,其中H->Data[0]已经定义为哨兵 */
int i;
if (IsFull(H))
{
printf("最大堆已满");
return false;
}
i = ++H->Size; /* i指向插入后堆中的最后一个元素的位置 */
for (; H->Data[i / 2] < X; i /= 2)
H->Data[i] = H->Data[i / 2]; /* 上滤X */
H->Data[i] = X; /* 将X插入 */
return true;
}
#define ERROR -1 /* 错误标识应根据具体情况定义为堆中不可能出现的元素值 */
bool IsEmpty(MaxHeap H)
{
return (H->Size == 0);
}
Elemtype DeleteMax(MaxHeap H)
{ /* 从最大堆H中取出键值为最大的元素,并删除一个结点 */
int Parent, Child;
Elemtype MaxItem, X;
if (IsEmpty(H)) {
printf("最大堆已为空");
return ERROR;
}
MaxItem = H->Data[1]; /* 取出根结点存放的最大值 */
/* 用最大堆中最后一个元素从根结点开始向上过滤下层结点 */
X = H->Data[H->Size--]; /* 注意当前堆的规模要减小 */
for (Parent = 1; Parent * 2 <= H->Size; Parent = Child)
{
Child = Parent * 2;
if ((Child != H->Size) && (H->Data[Child]<H->Data[Child + 1]))
Child++; /* Child指向左右子结点的较大者 */
if (X >= H->Data[Child]) break; /* 找到了合适位置 */
else /* 下滤X */
H->Data[Parent] = H->Data[Child];
}
H->Data[Parent] = X;
return MaxItem;
}
/*----------- 建造最大堆 -----------*/
void PercDown(MaxHeap H, int p)
{ /* 下滤:将H中以H->Data[p]为根的子堆调整为最大堆 */
int Parent, Child;
Elemtype X;
X = H->Data[p]; /* 取出根结点存放的值 */
for (Parent = p; Parent * 2 <= H->Size; Parent = Child) {
Child = Parent * 2;
if ((Child != H->Size) && (H->Data[Child]<H->Data[Child + 1]))
Child++; /* Child指向左右子结点的较大者 */
if (X >= H->Data[Child]) break; /* 找到了合适位置 */
else /* 下滤X */
H->Data[Parent] = H->Data[Child];
}
H->Data[Parent] = X;
}
void BuildHeap(MaxHeap H)
{ /* 调整H->Data[]中的元素,使满足最大堆的有序性 */
/* 这里假设所有H->Size个元素已经存在H->Data[]中 */
int i;
/* 从最后一个结点的父节点开始,到根结点1 */
for (i = H->Size / 2; i>0; i--)
PercDown(H, i);
}
int main()
{
Heap heap = CreateHeap(20);
int a[13] = { MAXDATA, 79, 66, 43, 83, 30, 87, 38, 55, 91, 72, 49, 9 };
int len = sizeof(a) / sizeof(a[0]);
heap->Data = a;
heap->Size = len-1;
BuildHeap(heap);
for (int i = 1; i <= heap->Size; i++)
cout << heap->Data[i]<<" ";
cout << endl << endl;
cout << DeleteMax(heap) << endl;
for (int i = 1; i <= heap->Size; i++)
cout << heap->Data[i] << " ";
cout << endl << endl;
if (Insert(heap, 99))
{
for (int i = 1; i <= heap->Size; i++)
cout << heap->Data[i] << " ";
}
}