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算法系列（四）排序算法中篇--归并排序和快速排序

分类: 文章 • 2024-01-06 08:23:40

在算法系列（三）排序算法上篇 一文中，介绍了冒泡排序，插入排序和选择排序算法。这篇文章继续讲解排序算法。

概述

冒泡排序，插入排序和选择排序算法这些算法的时间复杂度都是O(N^2),是否有更高效的排序算法呢？当然有了，堆排序，归并排序，快速排序，它们的时间复杂度都是O(nlogn)。堆排序使用了树结构，到目我们前还没有介绍树相关的算法，这里先分析归并排序跟快速排序。

归并排序

基本原理

归并排序使用了一个被称为分治法的通用模式，在分治法中，我们将问题分解为类似于原子问题的问题，递归的求解这些子问题，然后再合并这些自问题的解来得出原问题的解。
分治法的一般步骤
1、分解：把一个问题分解为多个子问题，这些子问题是更小实例上的原问题。
2、解决：递归求解自问题。当子问题足够小时，按照基础情况求解。
3、合并：把自问题的解合并为原问题的解。
归并操作的工作原理如下：
第一步：申请空间，使其大小为两个已经排序序列之和，该空间用来存放合并后的序列
第二步：设定两个指针，最初位置分别为两个已经排序序列的起始位置
第三步：比较两个指针所指向的元素，选择相对小的元素放入到合并空间，并移动指针到下一位置
重复步骤3直到某一指针超出序列尾
将另一序列剩下的所有元素直接复制到合并序列尾

具体过程

对于归并排序的实现，我们看一下《算法基础》中给的一个归并的例子
算法系列（四）排序算法中篇--归并排序和快速排序

代码实现

（比较容易理解，但是写的不是很好，合并方法可以优化）

[java] view plain copy
  1. package com.algorithm.sort;  
  2.   
  3. /** 
  4.  * 归并排序 
  5.  *  
  6.  * @author chao 
  7.  * 
  8.  */  
  9. public class MergeSort {  
  10.     /** 
  11.      * 归并排序 
  12.      *  
  13.      * @param num 
  14.      * @param start 
  15.      * @param end 
  16.      */  
  17.     public static void sort(int num[], int start, int end) {  
  18.         if (start >= end) {  
  19.             return;  
  20.         }  
  21.         int mid = (start + end) / 2;  
  22.         sort(num, start, mid);  
  23.         sort(num, mid + 1, end);  
  24.         merge(num, start, mid, end);  
  25.   
  26.     }  
  27.   
  28.     /** 
  29.      * num[start]到num[mid]是有序的，num[mid+1]到num[end]是有序的， 
  30.      * 重新合并数组，使数组num[start]到num[end]有序 
  31.      *  
  32.      * @param num 
  33.      * @param start 
  34.      * @param mid 
  35.      * @param end 
  36.      */  
  37.     public static void merge(int[] num, int start, int mid, int end) {  
  38.         int[] num1 = new int[mid - start + 1];  
  39.         int[] num2 = new int[end - mid];  
  40.         int i, j, k;  
  41.         for (i = start; i <= end; i++) {  
  42.             if (i - start < num1.length) {  
  43.                 num1[i - start] = num[i];  
  44.             } else {  
  45.                 num2[i - start - num1.length] = num[i];  
  46.             }  
  47.         }  
  48.         i = j = k = 0;  
  49.         while (i < num1.length && j < num2.length) {  
  50.             if (num1[i] <= num2[j]) {  
  51.                 num[start + k++] = num1[i++];  
  52.             } else {  
  53.                 num[start + k++] = num2[j++];  
  54.             }  
  55.         }  
  56.   
  57.         while (i < num1.length) {  
  58.             num[start + k++] = num1[i++];  
  59.         }  
  60.         while (j < num2.length) {  
  61.             num[start + k++] = num2[j++];  
  62.         }  
  63.     }  
  64.   
  65.     public static void main(String[] args) {  
  66.         int[] num = { 1, 5, 3, 2 };  
  67.         sort(num, 0, num.length - 1);  
  68.         for (int i = 0; i < num.length; i++)  
  69.             System.out.print(num[i] + " ");  
  70.     }  
  71. }  

时间复杂度

最好最的时间复杂度都是O(nlogn)
尽管归并排序效率很高，但是还是有一些缺点。归并排序并不是原址的，它必须将整个数组进行完全拷贝，如果空间非常宝贵，不适合使用归并排序。

快速排序

基本原理

和归并排序一样，快速排序也使用分治模式
假设要排序的数组是A[0]……A[N-1]，首先任意选取一个数据（通常选用第一个数据）作为关键数据，然后将所有比它的数都放到它前面，所有比它大的数都放到它后面，这个过程称为一躺快速排序。一躺快速排序的算法是：
1、设置两个变量I、J，排序开始的时候I：=1，J：=N-1；
2、以第一个数组元素作为关键数据，赋值给X，即X=A[1]；
3、从J开始向前搜索，即由后开始向前搜索（J=J-1），找到第一个小于X的值，两者交换；
4、从I开始向后搜索，即由前开始向后搜索（I=I+1），找到第一个大于X的值，两者交换；
5、重复第3、4步，直到I=J；

具体过程
待排序的数组A的值分别是：（初始关键数据X=49）
                   A[0]     A[1]     A[2]     A[3]     A[4]      A[5]     A[6]：
                     49        38       65       97       76       13        27
进行第一次交换后：   27        38       65       97       76       13        49
                   ( 按照算法的第三步从后面开始找)
进行第二次交换后：   27        38       49       97       76       13        65
                  ( 按照算法的第四步从前面开始找>X的值，65>49,两者交换，此时I：=3 )
进行第三次交换后：   27        38       13       97       76       49        65
( 按照算法的第五步将又一次执行算法的第三步从后开始找)
进行第四次交换后：   27        38       13       49       76       97        65
( 按照算法的第四步从前面开始找大于X的值，97>49,两者交换，此时J=4 )
此时再执行第三不的时候就发现I=J，从而结束一躺快速排序，那么经过一躺快速排序之后的结果是：
27        38       13       49       76       97        65，
即所有大于49的数全部在49的后面，所有小于49的数全部在49的前面。

代码实现

[java] view plain copy
  1. package com.algorithm.sort;  
  2.   
  3. /** 
  4.  * 快速排序 
  5.  *  
  6.  * @author chao 
  7.  * 
  8.  */  
  9. public class QuickSort {  
  10.     /** 
  11.      * 快速排序 
  12.      *  
  13.      * @param num 
  14.      * @param left 
  15.      * @param right 
  16.      */  
  17.     public static void sort(int[] num, int left, int right) {  
  18.         if (left < right) {  
  19.             int dp = partition(num, left, right);  
  20.             sort(num, left, dp - 1);  
  21.             sort(num, dp + 1, right);  
  22.         }  
  23.     }  
  24.   
  25.     /** 
  26.      * 数据分组 
  27.      *  
  28.      * @param num 
  29.      * @param left 
  30.      * @param right 
  31.      */  
  32.     public static int partition(int[] num, int left, int right) {  
  33.         int pivot = num[left];  
  34.         while (left < right) {  
  35.             while (left < right && num[right] >= pivot)  
  36.                 right--;  
  37.             if (left < right)  
  38.                 num[left++] = num[right];  
  39.             while (left < right && num[left] <= pivot)  
  40.                 left++;  
  41.             if (left < right)  
  42.                 num[right--] = num[left];  
  43.         }  
  44.         num[left] = pivot;  
  45.         return left;  
  46.     }  
  47.   
  48.     public static void main(String[] args) {  
  49.         int[] num = { 1, 5, 3, 2 };  
  50.         sort(num, 0, num.length - 1);  
  51.         for (int i = 0; i < num.length; i++)  
  52.             System.out.print(num[i] + " ");  
  53.   
  54.     }  
  55.   
  56. }  

复杂度分析

最好的情况是枢纽元选取得当，每次都能均匀的划分序列。 时间复杂度O(nlogn)
最坏情况是枢纽元为最大或者最小数字，那么所有数都划分到一个序列去了 时间复杂度为O(n^2)

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