算法导论-分治法

      我们可以选择的算法设计有很多。如：插入排序方法用到的是“增量方法”，可以理解为“串行”地从一个小问题开始解决，然后不断的放大这个问题，直到最终解决这个大问题。还是以插入排序为例，先排序A[1...j-1]，然后将A[j]插入A[1...j-1]形成A[1...j]的有序数列。

       本文的要介绍的算法设计方案是“分治法”，大部分内容来源于《算法导论》，个人学习使用。

       很多有用的高效算法在结构上都利用了递归的思想：为了解决一个给定的大问题，将其拆解为相似的一个个更小的问题，s府一次或多次的地递归调用自身,以解决紧密相关的若干子问题，最终达到解决大问题的目的。这类算法遵循的就是“分治法”的思想：将原问题分解为几个规模较小的类似子问题，求解这些子问题，然后再合并这些子问题的结果达到解决大问题的目的。

        分治模式在每次递归时基本遵三个步骤：

        （1）.分解：将原问题分解为若干子问题；

        （2）.解决：递归地求解各个子问题，一般来说当子问题足够小时，则直接求解；

        （3）.合并：合并这些子问题的解，得到原问题的解。

        本文以归并排序为例，说明一下分治法的具体应用：

        按照上述的三个步骤来分析归并排序，则归并排序的三个步骤为

        （1）.分解：将待排序的n个元素序列分解为2个子序列，每个有n/2个元素；

        （2）.解决：递归的解决2个子序列的排序问题；

        （3）.合并：合并2个已排序的子序列，得到原问题的解。

        1.归并排序的分解和解决

        归并排序算法的第一步是如何“分解”序列，如下所示。merge-sort（）实现排序A[p...q]，若p>=r，则该数组最多有1个元素，一定是排列好的，此时递归就可以返回了。

        然后利用merge()来实现，子序列的合并。

        2.归并排序的合并

        归并排序算法的关键也就是在于如何“合并”2个已经排序序列。假设利用merge（A,p,q,r）函数实现合并操作，其中A为数组，p、q和r都是数组下标，满足p<=q<r。该过程假设A[p...q]和A[q+1...r]都已经排序完成。merge的过程如下所示，实际上就和洗牌是一样的，最小的牌都在上方，两堆牌只有最上方的两张是可以看见的，我们按照大小顺序，选择大牌（或小牌）。剩下的还是只有2张牌可见，重复这个步骤，直到一摞牌堆为空，则将另一摞牌直接放在牌堆底部即可。如下所示：

 

         2.归并排序的代价

        在网上可以找到很多具体的有关归并排序时间复杂度的推到，归并排序的总代价为cnlogn+cn，忽略低阶项和常量c便给出了期望的结果nlog2n。