分治法的设计思想

对于一个规模为n的问题：若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。

分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：

1. 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决。
2. 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题。
3. 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解。
4. 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。

分治法的求解过程

分治法通常采用递归算法设计技术，在每一层递归上都有3个步骤：
① 分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题。
② 求解子问题：若子问题规模较小而容易被解决则直接求解，否则递归地求解各个子问题。
③ 合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。

根据分治法的分割原则，原问题应该分为多少个子问题才较适宜？各个子问题的规模应该怎样才为适当？
这些问题很难予以肯定的回答。但人们从大量实践中发现，在用分治法设计算法时，最好使子问题的规模大致相同。换句话说，将一个问题分成大小相等的k个子问题的处理方法是行之有效的。
当k=1时称为减治法。

许多问题可以取 k=2，称为二分法，如图所示，这种使子问题规模大致相等的做法是出自一种平衡子问题的思想，它几乎总是比子问题规模不等的做法要好。