算法设计与分析——第4章 分治法
分治法的设计思想
将一个难以直接解决的大问题，划分成一些规模较小的子问题，以便各个击破，分而治之。更一般地说，将要求解的原问题划分成k个较小规模的子问题，对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够小，则再将每个子问题划分为k个规模更小的子问题，如此分解下去，直到问题规模足够小，很容易求出其解为止，再将子问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原问题的解。
分治法的典型情况
分治法的求解过程
一般来说，分治法的求解过程由以下三个阶段组成：
（1）划分：既然是分治，当然需要把规模为n的原问题划分为k个规模较小的子问题，并尽量使这k个子问题的规模大致相同。
（2）求解子问题：各子问题的解法与原问题的解法通常是相同的，可以用递归的方法求解各个子问题，有时递归处理也可以用循环来实现。
（3）合并：把各个子问题的解合并起来，合并的代价因情况不同有很大差异，分治算法的有效性很大程度上依赖于合并的实现。
递归的定义
递归（Recursion）就是子程序（或函数）直接调用自己或通过一系列调用语句间接调用自己，是一种描述问题和解决问题的基本方法。
递归有两个基本要素：
⑴ 边界条件：确定递归到何时终止；
⑵ 递归模式：大问题是如何分解为小问题的。
快速排序
快速排序的分治策略是：
（1）划分：选定一个记录作为轴值，以轴值为基准将整个序列划分为两个子序列r1 … ri-1和ri+1 … rn，前一个子序列中记录的值均小于或等于轴值，后一个子序列中记录的值均大于或等于轴值；
（2）求解子问题：分别对划分后的每一个子序列递归处理；
（3）合并：由于对子序列r1 … ri-1和ri+1 … rn的排序是就地进行的，所以合并不需要执行任何操作。
最大子段和问题
给定由n个整数组成的序列(a1, a2, …, an)，最大子段和问题要求该序列形如
的最大值（1≤i≤j≤n），当序列中所有整数均为负整数时，其最大子段和为0。例如，序列(-20, 11, -4, 13, -5, -2)的
最大子段和为：
最大子段和问题的分治策略是：
（1）划分：按照平衡子问题的原则，将序列(a1, a2, …, an)划分成长度相同的两个子序列(a1, …, a )和(a ＋1, …, an)，则会出现以下三种情况：
① a1, …, an的最大子段和＝a1, …,a 的最大子段和；
② a1, …, an的最大子段和＝a ＋1, …, an的最大子段和；
③ a1, …, an的最大子段和＝ ，且
（2）求解子问题：对于划分阶段的情况①和②可递归求解，情况③需要分别计算
，则s1+s2为情况③的最大子段和。 ，
（3）合并：比较在划分阶段的三种情况下的最大子段和，取三者之中的较大者为原问题的解。
棋盘覆盖问题
下面讨论棋盘覆盖问题中数据结构的设计。
（1）棋盘：可以用一个二维数组board[size][size]表示一个棋盘，其中，size=2k。为了在递归处理的过程中使用同一个棋盘，将数组board设为全局变量；
（2）子棋盘：整个棋盘用二维数组board[size][size]表示，其中的子棋盘由棋盘左上角的下标tr、tc和棋盘大小s表示；
（3）特殊方格：用board[dr][dc]表示特殊方格，dr和dc是该特殊方格在二维数组board中的下标;
（4） L型骨牌：一个2k×2k的棋盘中有一个特殊方格，所以，用到L型骨牌的个数为(4k-1)/3，将所有L型骨牌从1开始连续编号，用一个全局变量t表示。
循环赛日程安排问题
设有n=2k个选手要进行网球循环赛，要求设计一个满足以下要求的比赛日程表：
（1）每个选手必须与其他n-1个选手各赛一次；
（2）每个选手一天只能赛一次。
按此要求，可将比赛日程表设计成一个 n 行n-1列的二维表，其中，第 i 行第 j 列表示和第 i 个选手在第 j 天比赛的选手。
按照分治的策略，可将所有参赛的选手分为两部分，n＝2k个选手的比赛日程表就可以通过为n/2＝2k-1个选手设计的比赛日程表来决定。递归地执行这种分割，直到只剩下2个选手时，比赛日程表的制定就变得很简单：只要让这2个选手进行比赛就可以了。
最近对问题
凸包问题
快包的思想是：首先找到S1中的顶点pmax，它是距离直线p1pn最远的顶点，则三角形pmaxp1pn的面积最大。S1中所有在直线pmaxp1左侧的点构成集合S1,1，S1中所有在直线pmaxpn右侧的点构成集合S1,2，包含在三角形pmaxp1pn之中的点可以不考虑了。递归地继续构造集合S1,1的上包和集合S1,2的上包，然后将求解过程中得到的所有最远距离的点连接起来，就可以得到集合S1的上包。