Objective Function

不同于value-based methods，policy-based methods的目标是：

• 对于给定的policy：

 其中θ为参数，以求找到使得policy最好的θ

那么如何衡量一个policy π的好坏呢？根据David Silver:

• 我们可以使用average value：

(1)

• 或每个时间步得到的average reward：

(2)

来衡量一个policy的好坏J(θ), 因此，我们的任务就是找到使得J(θ)最大的θ.

Solutions to Objective Function

对于此问题的求解，有一些不使用gradient的方法如：

• Hill climbing

• Genetic algorithms

 然而，gradient-based approaches通常可以获得更高的求解效率，如：

• Gradient descent

• Conjugate gradient

• Quasi-newton

因此我们更关注gradient-based approaches。

• 设J(θ)为任意一个策略的目标函数，policy gradient method通过沿着策略梯度的方向调整θ来寻求J(θ)的局部极大值：

(3)

其中

即为policy gradient

下面的推导过程十分重要，后面都会用到它：

  (4)

• 考虑一个简单的one-step MDPs：

对服从d(s) 分布的初始状态s，根据一定的policy采取动作，在一个时间步后即终止动作，得到reward为：

这个问题中，目标函数为：

根据式(4),可求得policy gradient为：

•  Policy Gradient Theorem

对于任意可差分的policy ：

 其策略梯度（policy gradient）为：

三种常用的policy gradient methods

• Monte-Carlo Policy gradient（REINFORCE）

• 采用梯度上升法更新参数

• 将第t个时间步得到的reward作为 对的无偏估计

 算法流程如下：

我们调整的梯度，会增加positive reward的 trajectory (state-action sequence) 的概率，而减小negative reward的trajectory的概率。

那万一我们的reward全为positive呢？结果是好的坏的trajectory的概率都一起增加了，它这个样子是不行的。所以我们可以给梯度调整加个baseline b:

reward超过b的trajectory 增加概率，小于b的减小概率。

• Action-Value Actor-Critic

Monte-Carlo Policy gradient具有高方差，因此，另外引入一个critic来估计action-value function以减小方差：

其中，w为critic的参数。

Action-Value Actor-Critic 算法中有两个机制：

 

• Critic：参数为 w ，估计Actor的动作价值函数以对actor的不同(s,a)进行评价。

对参数w 的求解实际上是一个policy evaluation问题，即：

How good is policy  π for current parameters θ？

有以下几种policy evaluation methods：

•  Monte-Carlo policy evaluation

•  Temporal-Difference learning

•  TD(λ) 

• Least-squares policy evaluation 

• Actor：参数为 θ ，根据critic对自己动作的评价结果来更新参数θ，以使目标函数最大

假设这样一个critic：

参数为w，输出动作价值函数与输入成线性关系：

且采用TD(0) 来对policy进行evaluation：

其中，

 为TD error。当TD error很小时，V(s)就趋于不变，此时policy evaluation network的参数也就趋于稳定。

采用这一critic的action-value actor-critic 的算法流程如下：

• Actor-Critic Advantage（A2C）

通过从Q(s,a)中减去一个baseline function B(s)

来减少估计的方差。因此，policy gradient可以重写为：

其中，  为advantage function。

那么，如何估计advantage function呢？下面介绍两种方法：

（1）采用policy evaluation methods(e.g. TD learning )估计

接下来即可根据下面的关系得到估计的 A(s,a)

（2）用TD error

来对advantage function进行估计，此时critic只需要一套参数v

证明：

    因此可以用TD error来计算policy gradient：

• Asynchronous Advantage Actor-Critic

• 

• Trust Region Policy Optimatization

由于这个gradient是目标函数的一阶导数，所以会考虑到step size的问题，万一步子太大，更新出来的策略表现一下子下降很多，新的策略采集到的trajectory就不好，再根据这些不好的trajectory更新策略，就会变更差了吧。这样策略的variance就会很大。

为了解决这个步长问难呢，有些人就搞了个Trust Region Policy Optimization (TRPO)

arxiv.org/pdf/1502.05477.pdf

Summary of Policy Gradient Algorithms

• Actor：

• Critic：使用policy evaluation（如MC or TD learning）来估计