Prim算法和Kruskal算法
一、Prim算法:
Prim算法实现的是找出一个有权重连通图中的最小生成树,即:具有最小权重且连接到所有结点的树。(强调的是树,树是没有回路的)。
Prim算法是这样来做的:
首先以一个结点作为最小生成树的初始结点,然后以迭代的方式找出与最小生成树中各结点权重最小边,并加入到最小生成树中。加入之后如果产生回路则跳过这条边,选择下一个结点。当所有结点都加入到最小生成树中之后,就找出了连通图中的最小生成树了。
Prim算法最小生成树查找过程:
C语言实现:
- #include <stdio.h>
- #include <stdlib.h>
- #define maxint 1073741824
- int main()
- {
- FILE *input=fopen(“input.txt”,“r”),*out=fopen(“output.txt”,“w”);
- int n,m,i,j,x,y,w;
- fscanf(input,”%d %d”,&n,&m);
- int map[n][n],E[m][3],tree[m],Mst[n][n];
- /*Mst表示最小生成树的邻接矩阵,map是原图,E是边集,其中E[0]和E[1]是边的两个顶点,E[2]是边的权值,tree是用于判断原图的点是否在最小生成树中*/
- memset(tree,0,sizeof(tree));
- for(i=0; i<n; i++)
- {
- for(j=0; j<n; j++)
- {
- map[i][j]=maxint;
- Mst[i][j]=maxint;
- }
- E[i][0]=E[i][1]=maxint;
- }
- for(i=0; i<m; i++)
- {
- fscanf(input,”%d %d %d”,&x,&y,&w);
- if(w<map[x][y])
- {
- map[x][y]=w;
- map[y][x]=w;
- }
- }
- int min=maxint,next=0,now=0,k=0;
- tree[0]=1;
- for(i=0; i<n; i++)
- {
- for(j=0; j<n; j++)
- {
- if(map[now][j]!=maxint && tree[j]==0)
- {
- E[k][0]=now;
- E[k][2]=map[now][j];
- E[k++][1]=j;
- }
- }
- for(j=0; j<k; j++)
- {
- if(E[j][2]<min && tree[E[j][1]]==0)
- {
- min=E[j][2];
- x=E[j][0];
- y=E[j][1];
- next=y;
- }
- }
- tree[next]=1;
- now=next;
- Mst[x][y]=map[x][y];
- Mst[y][x]=map[y][x];
- min=maxint;
- }
- for(i=0; i<n; i++)
- {
- for(j=0; j<n; j++)
- {
- if(Mst[i][j]==maxint) //判断两点是否连通
- fprintf(out,”00 ”); //美化输出,不必多加探究
- else
- {
- fprintf(out,”%d ”,Mst[i][j]); //输出生成树的邻接矩阵,要输出树的自己可以根据邻接矩阵的数据进行加工
- }
- }
- fprintf(out,”\n”);
- }
- fclose(input);
- fclose(out);
- return 0;
- } // 程序未考虑不是连通图的情况,修改很简单,判断生成树的节点数量是否等于原图的节点数量
- //如果小于(不会有大于)则本图不是连通图
- //其实prim和迪杰斯特拉算法核心有相似之处
注意:
若候选轻边集中的轻边不止一条,可任选其中的一条扩充到T中。
连通网的最小生成树不一定是惟一的,但它们的权相等。
【例】在上图(e)中,若选取的轻边是(2,4)而不是(2,1)时,则得到如图(h)所示的另一棵MST。
算法特点
该算法的特点是当前形成的集合T始终是一棵树。将T中U和TE分别看作红点和红边集,V-U看作蓝点集。算法的每一步均是在连接红、蓝点集的紫边中选择一条轻边扩充进T中。MST性质保证了此边是安全的。T从任意的根r开始,并逐渐生长直至U=V,即T包含了 C中所有的顶点为止。MST性质确保此时的T是G的一棵MST。因为每次添加的边是使树中的权尽可能小,因此这是一种”贪心”的策略。
算法分析
该算法的时间复杂度为O(n2)。与图中边数无关,该算法适合于稠密图。
算法演示:
http://sjjp.tjuci.edu.cn/sjjg/DataStructure/DS/web/flashhtml/prim.htm
二、Kruskal算法:
Kruskal算法与Prim算法的不同之处在于,Kruskal在找最小生成树结点之前,需要对所有权重边做从小到大排序。将排序好的权重边依次加入到最小生成树中,如果加入时产生回路就跳过这条边,加入下一条边。当所有结点都加入到最小生成树中之后,就找出了最小生成树。
c语言实现:
- /* Kruskal.c
- Copyright (c) 2002, 2006 by ctu_85
- All Rights Reserved.
- */
- /* I am sorry to say that the situation of unconnected graph is not concerned */
- #include ”stdio.h”
- #define maxver 10
- #define maxright 100
- int G[maxver][maxver],record=0,touched[maxver][maxver];
- int circle=0;
- int FindCircle(int,int,int,int);
- int main()
- {
- int path[maxver][2],used[maxver][maxver];
- int i,j,k,t,min=maxright,exsit=0;
- int v1,v2,num,temp,status=0;
- restart:
- printf(”Please enter the number of vertex(s) in the graph:\n”);
- scanf(”%d”,&num);
- if(num>maxver||num<0)
- {
- printf(”Error!Please reinput!\n”);
- goto restart;
- }
- for(j=0;j<num;j++)
- for(k=0;k<num;k++)
- {
- if(j==k)
- {
- G[j][k]=maxright;
- used[j][k]=1;
- touched[j][k]=0;
- }
- else
- if(j<k)
- {
- re:
- printf(”Please input the right between vertex %d and vertex %d,if no edge exists please input -1:\n”,j+1,k+1);
- scanf(”%d”,&temp);
- if(temp>=maxright||temp<-1)
- {
- printf(”Invalid input!\n”);
- goto re;
- }
- if(temp==-1)
- temp=maxright;
- G[j][k]=G[k][j]=temp;
- used[j][k]=used[k][j]=0;
- touched[j][k]=touched[k][j]=0;
- }
- }
- for(j=0;j<num;j++)
- {
- path[j][0]=0;
- path[j][1]=0;
- }
- for(j=0;j<num;j++)
- {
- status=0;
- for(k=0;k<num;k++)
- if(G[j][k]<maxright)
- {
- status=1;
- break;
- }
- if(status==0)
- break;
- }
- for(i=0;i<num-1&&status;i++)
- {
- for(j=0;j<num;j++)
- for(k=0;k<num;k++)
- if(G[j][k]<min&&!used[j][k])
- {
- v1=j;
- v2=k;
- min=G[j][k];
- }
- if(!used[v1][v2])
- {
- used[v1][v2]=1;
- used[v2][v1]=1;
- touched[v1][v2]=1;
- touched[v2][v1]=1;
- path[0]=v1;
- path[1]=v2;
- for(t=0;t<record;t++)
- FindCircle(path[t][0],path[t][0],num,path[t][0]);
- if(circle)
- {/*if a circle exsits,roll back*/
- circle=0;
- i–;
- exsit=0;
- touched[v1][v2]=0;
- touched[v2][v1]=0;
- min=maxright;
- }
- else
- {
- record++;
- min=maxright;
- }
- }
- }
- if(!status)
- printf(”We cannot deal with it because the graph is not connected!\n”);
- else
- {
- for(i=0;i<num-1;i++)
- printf(”Path %d:vertex %d to vertex %d\n”,i+1,path[0]+1,path[1]+1);
- }
- return 1;
- }
- int FindCircle(int start,int begin,int times,int pre)
- { /* to judge whether a circle is produced*/
- int i;
- for(i=0;i<times;i++)
- if(touched[begin]==1)
- {
- if(i==start&&pre!=start)
- {
- circle=1;
- return 1;
- break;
- }
- else
- if(pre!=i)
- FindCircle(start,i,times,begin);
- else
- continue;
- }
- return 1;
- }