我已经有两年 ML 经历，这系列课主要用来查缺补漏，会记录一些细节的、自己不知道的东西。

这是我的李宏毅老师 GAN 系列第6篇笔记，GAN 系列：

• 1：Basic Idea
• 2：Conditional GAN
• 3：Unsupervised Conditional Generation
• 4：Theory behind GAN
• 5：fGAN: General Framework of GAN

本节内容综述

1. 之前已经讲到说，最原始的 GAN 使用的是 JS Divergence 测量生成数据分布与原始数据分布的距离；但是这面临一个数据维度的问题。见 JS divergence is not suitable 。
2. 因此，有人考虑把 sigmoid 换成 linear 。这是 Least Square GAN (LSGAN) 。
3. 使用 Earth Mover’s Distance 代替 JS divergence 。这是 Wassertein GAN (WGAN) 。最后总结了改为 WGAN 的算法需要做哪些。
4. 还介绍了用autocoder 作为 discriminator 的 Energy-based GAN (EBGAN) 。
5. 此外，介绍了一下 Loss-sensitive GAN (LSGAN) 。

小细节

JS divergence is not suitable

如上图，我们的数据实际上是将高维的数据描述成了低维数据。

我们采样的数据对于数据分布来说太少了，很难有数据的重叠 overlap 。

What is the problem of JS divergence?

JS 散度存在一个问题，如果两个分布没有重合，其距离就是 log2 。如上图，两个数据分布接近时，其指标应该越来越好，但是其在逐渐接近的过程中，指标并没有变化。

Least Square GAN (LSGAN)

如上，我们同时让分类问题变成一个回归问题。希望真实值接近1，假的数据接近 0 。

Wassertein GAN (WGAN)

使用 Earth Mover’s Distance 代替 JS divergence 。

Earth Mover’s Distance

假设我们开了一台推土机，把 P 地方的土推到 Q 地方，推土机平均走的距离就是 Earth Mover’s Distance 。
如山，把土推到另一个分布，有好多不同的“推土”方法。因此，Earth Mover’s Distance 要求穷举所有的铲土的计划，取总距离最小的那个。

“推土方法”英文“moving plan”，可以用一个矩阵表示。

Why Earth Mover’s Distance?

如上，相比 JS Divergence ，使用 Earth Mover’s Distance ，可以时刻衡量两分布见距离。

WGAN

具体的推导李老师省去了。

如上，WGAN使用 $V(G, D)$V(G,D) 。这里要求 $D$D 必须平滑，这样防止两个分布一直上升趋近于无穷。

而 Lipschitz Function 如上，1 - Lipschitz 表示输入变化总是大于输出。那参数有了这么多约束，如何解呢？如上，可以使用 Weight Clipping 训练。

Improved WGAN (WGAN-GP)

如上，通过限制 $D(x)$D(x) 的梯度小于等于 1 ，来限制 $D \in 1 - Lipschitz$D∈1−Lipschitz 。

因此目标函数可以做如上改进。此外，假设 $x\sim P_{penalty}$x∼Ppenalty​，因为我们很难限制所有的$x$x 都满足 $|\nabla_x D(x) ||\le 1$∣∇x​D(x)∣∣≤1 。

那么 $P_{penalty}$Ppenalty​ 长什么样呢？

如上，真实数据与生成数据见的数据，就是$P_{penalty}$Ppenalty​。尽管难以证明，但是这是有用且符合直觉的。

我们要求 $P_G$PG​ 慢慢移动到 $P_{data}$Pdata​ ，因此只有其二者间的数据，才是值得采样的。

此外，在实际上，我们希望$||\nabla_x D(x)||$∣∣∇x​D(x)∣∣ 越接近1越好。如上。

Spectrum Norm

还有一招 Spectrum Norm ，可以做到 WGAN 中的“每一处梯度都小于1”。

如上，李老师不准备讲细节，但是其“效果很强”。

Algorithm of WGAN

Energy-based GAN (EBGAN)

如上，使用 autoencoder 作为 Discriminator 。

如上，我们希望 reconstruction 后与真实值做差，为 0 为最好（为真实数据）。0 for the best.

好处是：不需要 generator ，discriminator 可以使用真实数据预训练。

如上，我们希望真是数据对应分数接近于 0 ，但是其他地方的数据不必很负。设一个阈值就好。

Outlook: Loss-sensitive GAN (LSGAN)

如上，在训练时对 Loss 敏感一些，如果 Loss 小一些，则分数也稍微高一些，不需要压得太低。