Back-propagation algorithm

由于隐藏层的误差项没有被很好地定义（不像输出层有真实值 $d_i$di​），多层神经网络的发展停滞了许久。1986年，后向传播算法 Back-propagation algorithm 的引入解决了这个问题。

考虑一个三层网络（输入—隐藏—输出），下面是隐藏层到输出层的转换：

由前面的章节，我们已经知道对于隐藏层—输出层，$\delta=\varphi^{'}(v)e$δ=φ′(v)e，$\delta_i$δi​ 对 $W_2$W2​ 的每一行求导，就得到输出层神经元 i 对每一个隐藏层神经元的梯度。

但是现在我们的问题是要求出输入层—隐藏层对应的 $\delta$δ，由于要更新的是 $W_{1},W_1x=v^{(1)},y^{(1)}=\varphi(v^{(1)})$W1​,W1​x=v(1),y(1)=φ(v(1))，我们需要将 $\delta_i$δi​ 对隐藏层神经元 $y^{(1)}$y(1) 求导。

考虑对每一个隐藏层神经元 $y^{(1)}_{j}$yj(1)​，它通过 $w^{(2)}_{ij}$wij(2)​（竖着看 W 权重矩阵）作用于输出层神经元 $y_i$yi​，故对第一个隐藏层神经元，有：

转换成矩阵形式，即：

由此，我们可以统一隐藏层和前面单一网络结构的梯度计算形式，它们的唯一区别就是 $\delta$δ 的计算不同。

Momentum

momentum 就是增加到 delta 法则上的一个附加项，它考虑到了之前的梯度的影响。

Cost Function and Learning Rule

上面是两个经典的损失函数，一个是平方误差损失函数，一个是交叉熵损失函数。“the cross entropy-driven learning rule yields a faster learning process.”

考虑如下图的交叉熵损失，当 d=1 时，y 越接近 1，损失越小；y 越接近 0，损失越大。d=0 时同理。

梯度计算参考：

• 简单易懂的softmax交叉熵损失函数求导
• 为什么sigmoid**函数，使用交叉熵损失函数更好