什么是Gradient Descent（梯度下降法）？

在第二篇文章中有介绍到梯度下降法的做法，传送门：机器学习入门系列02，Regression 回归：案例研究

Review: 梯度下降法

在回归问题的第三步中，需要解决下面的最优化问题：

$\theta^∗= \underset{ \theta }{\operatorname{arg\ max}} L(\theta) \tag1$θ∗=θarg max​L(θ)(1)

• $L$L :lossfunction（损失函数）
• $\theta$θ :parameters（参数）

这里的parameters是复数，即 $\theta$θ 指代一堆参数，比如上篇说到的 $w$w 和 $b$b 。

我们要找一组参数 $\theta$θ ，让损失函数越小越好，这个问题可以用梯度下降法解决：

假设 $\theta$θ 有里面有两个参数 $\theta_1, \theta_2$θ1​,θ2​
随机选取初始值

$\theta^0 = \begin{bmatrix} \theta_1^0 \\ \theta_2^0 \end{bmatrix} \tag2$θ0=[θ10​θ20​​](2)

这里可能某个平台不支持矩阵输入，看下图就好。

然后分别计算初始点处，两个参数对 $L$L 的偏微分，然后 $\theta^0$θ0 减掉 $\eta$η 乘上偏微分的值，得到一组新的参数。同理反复进行这样的计算。黄色部分为简洁的写法，$\triangledown L(\theta)$▽L(θ) 即为梯度。

$\eta$η 叫做Learning rates（学习速率）

上图举例将梯度下降法的计算过程进行可视化。

Tip1：调整 learning rates（学习速率）

小心翼翼地调整 learning rate

举例：

上图左边黑色为损失函数的曲线，假设从左边最高点开始，如果 $learning rate$learningrate 调整的刚刚好，比如红色的线，就能顺利找到最低点。如果 $learning rate$learningrate 调整的太小，比如蓝色的线，就会走的太慢，虽然这种情况给足够多的时间也可以找到最低点，实际情况可能会等不及出结果。如果 $learning rate$learningrate 调整的有点大，比如绿色的线，就会在上面震荡，走不下去，永远无法到达最低点。还有可能非常大，比如黄色的线，直接就飞出去了，update参数的时候只会发现损失函数越更新越大。

虽然这样的可视化可以很直观观察，但可视化也只是能在参数是一维或者二维的时候进行，更高维的情况已经无法可视化了。

解决方法就是上图右边的方案，将参数改变对损失函数的影响进行可视化。比如 learning rate 太小（蓝色的线），损失函数下降的非常慢；$learning rate$learningrate 太大（绿色的线），损失函数下降很快，但马上就卡住不下降了；$learning rate$learningrate 特别大（黄色的线），损失函数就飞出去了；红色的就是差不多刚好，可以得到一个好的结果。

自适应 learning rate

举一个简单的思想：随着次数的增加，通过一些因子来减少 $learning rate$learningrate

• 通常刚开始，初始点会距离最低点比较远，所以使用大一点的 $learning rate$learningrate
• update好几次参数之后呢，比较靠近最低点了，此时减少 $learning rate$learningrate
• 比如 $\eta^t =\frac{\eta^t}{\sqrt{t+1}}$ηt=t+1​ηt​，$t$t 是次数。随着次数的增加，$\eta^t$ηt 减小

但 $learning rate$learningrate 不能是 one-size-fits-all ，不同的参数需要不同的 $learning rate$learningrate

Adagrad 算法

Adagrad 是什么？

每个参数的学习率都把它除上之前微分的均方根。解释：

普通的梯度下降为：

$w^{t+1} \leftarrow w^t -η^tg^t \tag3$wt+1←wt−ηtgt(3)
$\eta^t =\frac{\eta^t}{\sqrt{t+1}} \tag4$ηt=t+1​ηt​(4)

• $w$w 是一个参数

Adagrad 可以做的更好：
$w^{t+1} \leftarrow w^t -\frac{η^t}{\sigma}g^t \tag5$wt+1←wt−σηt​gt(5)
$g^t =\frac{\partial L(\theta^t)}{\partial w} \tag6$gt=∂w∂L(θt)​(6)

• $\sigma^t$σt :之前参数的所有微分的均方根，对于每个参数都是不一样的。

Adagrad举例

下图是一个参数的更新过程

将 Adagrad 的式子进行化简：

Adagrad 存在的矛盾？

在 Adagrad 中，当梯度越大的时候，步伐应该越大，但下面分母又导致当梯度越大的时候，步伐会越小。

下图是一个直观的解释：

下面给一个正式的解释：

比如初始点在 $x_0$x0​，最低点为 $−\frac{b}{2a}$−2ab​，最佳的步伐就是 $x0$x0 到最低点之间的距离 $\left | x_0+\frac{b}{2a} \right |$∣∣​x0​+2ab​∣∣​，也可以写成 $\left | \frac{2ax_0+b}{2a} \right |$∣∣​2a2ax0​+b​∣∣​。而刚好 $|2ax_0+b|$∣2ax0​+b∣ 就是方程绝对值在 $x_0$x0​ 这一点的微分。

这样可以认为如果算出来的微分越大，则距离最低点越远。而且最好的步伐和微分的大小成正比。所以如果踏出去的步伐和微分成正比，它可能是比较好的。

结论1-1：梯度越大，就跟最低点的距离越远。

这个结论在多个参数的时候就不一定成立了。

多参数下结论不一定成立

对比不同的参数

上图左边是两个参数的损失函数，颜色代表损失函数的值。如果只考虑参数 $w_1$w1​，就像图中蓝色的线，得到右边上图结果；如果只考虑参数 $w_2$w2​，就像图中绿色的线，得到右边下图的结果。确实对于 $a$a 和 $b$b，结论1-1是成立的，同理 $c$c 和 $b$b 也成立。但是如果对比$a$a 和 $c$c，就不成立了，$c$c 比 $a$a 大，但 $c$c 距离最低点是比较近的。

所以结论1-1是在没有考虑跨参数对比的情况下，才能成立的。所以还不完善。

之前说到的最佳距离 $\left | \frac{2ax_0+b}{2a} \right |$∣∣​2a2ax0​+b​∣∣​，还有个分母 $2a$2a 。对function进行二次微分刚好可以得到：
$\frac{\partial ^2y}{\partial x^2} = 2a \tag7$∂x2∂2y​=2a(7)
所以最好的步伐应该是：
$\frac{一次微分}{二次微分}$二次微分一次微分​
即不止和一次微分成正比，还和二次微分成反比。最好的step应该考虑到二次微分：

Adagrad 进一步的解释

再回到之前的 Adagrad

对于 $\sqrt{\sum_{i=0}^t(g^i)^2}$∑i=0t​(gi)2​ 就是希望再尽可能不增加过多运算的情况下模拟二次微分。（如果计算二次微分，在实际情况中可能会增加很多的时间消耗）

Tip2：Stochastic Gradient Descent（随机梯度下降法）

之前的梯度下降：

$L=\sum_n(\hat y^n-(b+\sum w_ix_i^n))^2 \tag8$L=n∑​(y^​n−(b+∑wi​xin​))2(8)
$\theta^i =\theta^{i-1}- \eta\triangledown L(\theta^{i-1}) \tag9$θi=θi−1−η▽L(θi−1)(9)

而Stochastic Gradient Descent（更快）：

损失函数不需要处理训练集所有的数据，选取一个例子 $x^n$xn

$L=(\hat y^n-(b+\sum w_ix_i^n))^2 \tag{10}$L=(y^​n−(b+∑wi​xin​))2(10)
$\theta^i =\theta^{i-1}- \eta\triangledown L^n(\theta^{i-1}) \tag{11}$θi=θi−1−η▽Ln(θi−1)(11)

此时不需要像之前那样对所有的数据进行处理，只需要计算某一个例子的损失函数Ln，就可以赶紧update 梯度。

对比：

常规梯度下降法走一步要处理到所有二十个examples，但Stochastic 此时已经走了二十步（没处理一个example就更新）

Tip3：Feature Scaling（特征缩放）

比如有个function：

$y=b+w_1x_1+w_2x_2 \tag{12}$y=b+w1​x1​+w2​x2​(12)
两个输入的分布的范围很不一样，建议把他们的范围缩放，使得不同输入的范围是一样的。

为什么要这样做？

上图左边是 $x_1$x1​ 的scale比 $x_2$x2​ 要小很多，所以当 $w_1$w1​ 和 $w_2$w2​ 做同样的变化时，$w_1$w1​ 对 $y$y 的变化影响是比较小的，$x_2$x2​ 对 $y$y 的变化影响是比较大的。

坐标系中是两个参数的error surface（现在考虑左边蓝色），因为 $w_1$w1​ 对 $y$y 的变化影响比较小，所以 $w_1$w1​ 对损失函数的影响比较小，$w_1$w1​ 对损失函数有比较小的微分，所以 $w_1$w1​ 方向上是比较平滑的。同理 $x_2$x2​ 对 $y$y 的影响比较大，所以 $x_2$x2​ 对损失函数的影响比较大，所以在 $x_2$x2​ 方向有比较尖的峡谷。

上图右边是两个参数scaling比较接近，右边的绿色图就比较接近圆形。

对于左边的情况，上面讲过这种狭长的情形不过不用Adagrad的话是比较难处理的，两个方向上需要不同的学习率，同一组学习率会搞不定它。而右边情形更新参数就会变得比较容易。左边的梯度下降并不是向着最低点方向走的，而是顺着等高线切线法线方向走的。但绿色就可以向着圆心（最低点）走，这样做参数更新也是比较有效率。

怎么做 scaling？

方法非常多，这里举例一种常见的做法：

上图每一列都是一个例子，里面都有一组feature。

对每一个维度 $i$i（绿色框）都计算平均数，记做 $m_i$mi​；还要计算标准差，记做 $\sigma _i$σi​。

然后用第 $r$r 个例子中的第 $i$i 个输入，减掉平均数 $m_i$mi​，然后除以标准差 $\sigma _i$σi​，得到的结果是所有的维数都是 $0$0，所有的方差都是 $1$1

梯度下降的理论基础

问题

当用梯度下降解决问题：

$\theta^∗= \underset{ \theta }{\operatorname{arg\ max}} L(\theta) \tag1$θ∗=θarg max​L(θ)(1)

每次更新参数 $\theta$θ，都得到一个新的 $\theta$θ，它都使得损失函数更小。即：

$L(\theta^0) >L(\theta^1)>L(\theta^2)>···\tag{13}$L(θ0)>L(θ1)>L(θ2)>⋅⋅⋅(13)

上述结论正确吗？

结论是不正确的。。。

数学理论

比如在 $\theta^0$θ0 处，可以在一个小范围的圆圈内找到损失函数细小的 $\theta^1$θ1，不断的这样去寻找。

接下来就是如果在小圆圈内快速的找到最小值？

Taylor Series（泰勒展开式）

先介绍一下泰勒展开式

定义

若 $h(x)$h(x) 在 $x=x_0$x=x0​ 点的某个领域内有无限阶导数（即无限可微分，infinitely differentiable），那么在此领域内有：

$\begin{aligned} h(x) &= \sum_{k=0}^{\infty }\frac{h^k(x_0)}{k!}(x-x_0)^k \\ & =h(x_0)+{h}'(x_0)(x−x_0)+\frac{{h}''(x_0)}{2!}(x−x_0)^2+⋯ \tag{14} \end{aligned}$h(x)​=k=0∑∞​k!hk(x0​)​(x−x0​)k=h(x0​)+h′(x0​)(x−x0​)+2!h′′(x0​)​(x−x0​)2+⋯​(14)

当 $x$x 很接近 $x_0$x0​ 时，有 $h(x)≈h(x_0)+{h}'(x_0)(x−x_0)$h(x)≈h(x0​)+h′(x0​)(x−x0​)
式14 就是函数 $h(x)$h(x) 在 $x=x_0$x=x0​ 点附近关于 $x$x 的幂函数展开式，也叫泰勒展开式。

举例：

图中3条蓝色线是把前3项作图，橙色线是 $sin(x)$sin(x)。

多变量泰勒展开式

下面是两个变量的泰勒展开式

利用泰勒展开式简化

回到之前如何快速在圆圈内找到最小值。基于泰勒展开式，在 $(a,b)$(a,b) 点的红色圆圈范围内，可以将损失函数用泰勒展开式进行简化：

将问题进而简化为下图：

不考虑s的话，可以看出剩下的部分就是两个向量$(\triangle \theta_1,\triangle \theta_2)$(△θ1​,△θ2​) 和 $(u,v)$(u,v) 的内积，那怎样让它最小，就是和向量 $(u,v)$(u,v) 方向相反的向量

然后将u和v带入。

$L(\theta)\approx s+u(\theta_1 - a)+v(\theta_2 - b) \tag{14}$L(θ)≈s+u(θ1​−a)+v(θ2​−b)(14)

发现最后的式子就是梯度下降的式子。但这里用这种方法找到这个式子有个前提，泰勒展开式给的损失函数的估算值是要足够精确的，而这需要红色的圈圈足够小（也就是学习率足够小）来保证。所以理论上每次更新参数都想要损失函数减小的话，即保证式1-2 成立的话，就需要学习率足够足够小才可以。

所以实际中，当更新参数的时候，如果学习率没有设好，是有可能式1-2是不成立的，所以导致做梯度下降的时候，损失函数没有越来越小。

式1-2只考虑了泰勒展开式的一次项，如果考虑到二次项（比如牛顿法），在实际中不是特别好，会涉及到二次微分等，多很多的运算，性价比不好。

梯度下降的限制

容易陷入局部极值
还有可能卡在不是极值，但微分值是0的地方
还有可能实际中只是当微分值小于某一个数值就停下来了，但这里只是比较平缓，并不是极值点