二维函数Z=g(X,Y)型，用卷积公式求概率密度，积分区域如何确定（下）

二维函数Z=g(X,Y)型，用卷积公式求概率密度，积分区域如何确定（下）

因为关于二维随机变量主题内容重要，难度大，例题多，最主要是积分区间的确定是难点，同时关联卷积概念，卷积公式容易，积分区间难以确定，因为书上的例题都没有详细解释积分区间如何确定，所以分成上中下三篇博客写。
接本主题（中）。

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【例五】

设随机变量X和Y的联合分布是正方形G=((x,y)|1⩽x⩽3,1⩽y⩽3)$G=((x,y)|1⩽x⩽3,1⩽y⩽3)$上的均匀分布，试求随机变量 U=|X-Y|的概率密度p(u)

前面已经谈到，二维变量均匀分布的概率密度函数=1分布区域的面积$二维变量均匀分布的概率密度函数=\frac{1}{分布区域的面积}$

区域G的面积=x的长度y的宽度=(3-1)*(3-1)=2*2=4

X和Y的均匀分布的概率密度函数 = 1分布区域的面积=14$\frac{1}{分布区域的面积}=\frac{1}{4}$

Z=g(X,Y)函数概率密度的积分区间，等于Zmax,Zmin与Xmin,Xmax包围的区间，对x进行积分，将z看做常量$Z=g(X,Y)函数概率密度的积分区间，等于Zmax,Zmin与Xmin,Xmax包围的区间，对x进行积分，将z看做常量$。

U=|X-Y|,
当 X>Y时，U=X-Y
Umax1=X-Ymin=X-1
Umin1=X-Ymax=X-3

当X< Y时，U=-X+Y
Umax2=-X+Ymax=-X+3
Umin2=-X+Ymin=-X-1

如图所示，因为是U=|X-Y|，所以u轴的区域只能取 u⩾0$u⩾0$，有两个区域，蓝色斜线区域$蓝色斜线区域$ 和 绿色斜线区域$绿色斜线区域$。

蓝色斜线区域$蓝色斜线区域$ , 即X< Y的区域，U=-X+Y, Y=X+U
对x积分，x的范围从x=1到U2max，即x=1到x=-U+3

绿色斜线区域$绿色斜线区域$ ,即X> Y的区域，U=X-Y , Y=X-U
对x积分，x的范围从U1max到x=3，即x=U+1

所以，
p(u)=fZ(z)=∫蓝色区域f(x,x+u)dx+∫绿色区域f(x,x−u)dx$p(u)=f_Z(z)={\int }_{蓝色区域}^{}f(x,x+u)dx+{\int }_{绿色区域}^{}f(x,x-u)dx$

p(u)=∫−u+3114dx+∫3u+114dx$p(u)={\int }_1^{-u+3}\frac{1}{4}dx+{\int }_{u+1}^3\frac{1}{4}dx$

=14x|−u+31+14x|3u+1$=\frac{1}{4}x{|}_1^{-u+3}+\frac{1}{4}x{|}_{u+1}^3$

=14(−u+3−1)+14(3−(u+1))=14(2−u)+14(2−u)$=\frac{1}{4}(-u+3-1)+\frac{1}{4}(3-(u+1))=\frac{1}{4}(2-u)+\frac{1}{4}(2-u)$
=12(2−u)$=\frac{1}{2}(2-u)$

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【例六】

设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P(X=i)=13(i=−1,0,1)$P(X=i)=\frac{1}{3}(i=-1,0,1)$,Y的概率密度为

记Z=X+Y
(1)求P(Z⩽12|X=0)$P(Z⩽\frac{1}{2}|X=0)$;
(2)求Z的概率密度fz(z)$f_z(z)$

【解】
分析，本题X,Y随机变量，一个是离散型，一个是连续型，那么Z=X+Y是什么形式的变量呢？ 结论：Z=X+Y是分段型区间变量。

X : -1 , 0 , 1
0⩽y<1$0⩽y<1$

Z=X+Y
X=-1时， Zmax=X+Ymax=X+1=-1+1=0, Zmin=X+Ymin=X+0=-1+0=-1
所以，X=-1时， −1⩽Z<0$-1⩽Z<0$
同理，
X=0时， Zmax=X+Ymax=X+1=0+1=1, Zmin=X+Ymin=X+0=0+0=0
所以，X=-1时， 0⩽Z<1$0⩽Z<1$

X=1时， Zmax=X+Ymax=X+1=1+1=2, Zmin=X+Ymin=X+0=1+0=1
所以，X=1时， 1⩽Z<2$1⩽Z<2$

表[例六]

X	−1/P(X=−1)=13$-1/P(X=-1)=\frac{1}{3}$	0/P(X=0)=13$0/P(X=0)=\frac{1}{3}$	1/P(X=1)=13$1/P(X=1)=\frac{1}{3}$
Y	0⩽Y<1$0⩽Y<1$/P(Y)=1	0⩽Y<1$0⩽Y<1$/P(Y)=1	0⩽Y<1$0⩽Y<1$/P(Y)=1
Z=X+Y	−1⩽Z<0$-1⩽Z<0$	0⩽Z<1$0⩽Z<1$	1⩽Z<2$1⩽Z<2$
Z=X+Y	P(−1⩽Z<0)=P(x)∗P(y)=13∗1=13$P(-1⩽Z<0)=P(x)\ast P(y)=\frac{1}{3}\ast 1=\frac{1}{3}$	P(0⩽Z<1)=P(x)∗P(y)=13∗1=13$P(0⩽Z<1)=P(x)\ast P(y)=\frac{1}{3}\ast 1=\frac{1}{3}$	P(1⩽Z<2)=P(x)∗P(y)=13∗1=13$P(1⩽Z<2)=P(x)\ast P(y)=\frac{1}{3}\ast 1=\frac{1}{3}$

(1)求P(Z⩽12|X=0)$P(Z⩽\frac{1}{2}|X=0)$;
本题是求条件概率，回看前面博客 条件概率，乘法定理
本题的解法有两种，一种是由条件概率公式，另一种是直接由条件概率定义。
由条件概率公式：
P(B|A)=P(AB)P(A)$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$
那么，
P(Z⩽12|X=0)=P(Z⩽12andX=0)P(X=0)$P(Z⩽\frac{1}{2}|X=0)=\frac{P(Z⩽\frac{1}{2}andX=0)}{P(X=0)}$
由上表得知，当X=0时， 0⩽Z<1$0⩽Z<1$ ， P(0⩽Z<1$0⩽Z<1$ )=13$\frac{1}{3}$
所以，求 当X=0时， 0⩽Z<12$0⩽Z<\frac{1}{2}$, 0⩽Z<12$0⩽Z<\frac{1}{2}$的长度是 0⩽Z<1$0⩽Z<1$ 的12$\frac{1}{2}$，所以其概率也是它的12$\frac{1}{2}$，
所以，当X=0时，P(0⩽Z<13$0⩽Z<\frac{1}{3}$ )=13∗12$\frac{1}{3}\ast \frac{1}{2}$

P(Z⩽12|X=0)=P(Z⩽12andX=0)P(X=0)$P(Z⩽\frac{1}{2}|X=0)=\frac{P(Z⩽\frac{1}{2}andX=0)}{P(X=0)}$
=13∗1213=12$=\frac{\frac{1}{3}\ast \frac{1}{2}}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}$

第二种解法，直接根据条件概率的定义，求X=0的条件概率，相当于只考虑上面表中X=0的一列。由于此时X=0的条件已经限制，在此条件下P(Z)=P(Y)=1,
X=0时，Z的范围是 0⩽z<1$0⩽z<1$ ，那么对于 Z⩽12$Z⩽\frac{1}{2}$，
Z⩽12$Z⩽\frac{1}{2}$ 的长度是0⩽z<1$0⩽z<1$ 的12$\frac{1}{2}$ ,
所以 P(Z⩽12$Z⩽\frac{1}{2}$ |X=0) = P(0⩽z<1$0⩽z<1$|X=0) = 12∗1$\frac{1}{2}\ast 1$ = 12$\frac{1}{2}$

(2)求Z的概率密度fz(z)$f_z(z)$
Z=X+Y，X为离散变量，Y为连续变量，由前面的分析得知，Z为分段变量。
Z的分段 以及各分段的概率 在 表[例六]中
用公式表达就是：

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【例七】

假设一台设备开机后无故障工作的时间X(小时)服从参数为λ=15$\lambda =\frac{1}{5}$的指数分布，设备定时开机，出现故障时自动关机。而在无故障的情况下，工作2小时便关机。试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F(y)

【解】

先复习本主题（中）的指数分布概念
二维函数Z=g(X,Y)型，用卷积公式求概率密度，积分区域如何确定（中）

分布函数的物理含义：F(x)表示在x范围内（X⩽x)发生事件的概率。$F(x)表示在x范围内（X⩽x)发生事件的概率。$

指数分布函数的含义：F(t)=1−e−λt，F(t)表示t时间前发生故障的概率。$F(t)=1-e^{-\lambda t}，F(t)表示t时间前发生故障的概率。$

指数(概率密度)函数的意义：f(t)=e−λt，表示t时间内不发生故障的概率。$f(t)=e^{-\lambda t}，表示t时间内不发生故障的概率。$

回到本题：
λ=15$\lambda =\frac{1}{5}$

出现故障时自动关机： 分布函数F(t)的含义是表示t 时间前发生故障的概率，所以”出现故障时自动关机“ 与分布函数F(t)无关

工作2小时便关机：表示 F(t)=1,当0⩽t$F(t)=1,当0⩽t$

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参考书目：

张天德，叶宏 《星火燎原·概率论与数理统计辅导及习题精解》（浙大·第4版）第三章