一.训练后可能出现的问题

  类似于简单的回归问题，各种神经网络也会存在着欠拟合和过拟合的情况。我们这里不考虑数据集中的噪声和数据量的影响，就考虑使用神经网络的三个步骤。对于一个足够复杂的神经网络，如果出现了欠拟合情况，那必然是没有计算出对应的比较好的解，即第三步选择最好的函数的问题；而过拟合的情况代表着训练集上已经足够好了，解决方法其实很多，我们在后面详细说明。情况如下图所示，这里的所谓的测试集其实是交叉验证集，因为我们需要有标签数据来反馈训练的情况。

二.解决欠拟合

  就像上文所说，欠拟合一般都是因为神经网络没有找到一个比较优的解，也就是没有找到损失值最小的点。

1.更高级的优化器

  普通的梯度下降容易陷入局部最优解，而且学习率一直不变，调小了前期可能非常慢而后期可能无法收敛；因此我们可以选用更高级的优化器，例如可以自适应学习率和下降方向的Adam优化器，具体的内容在学习笔记(三)中。

2.新的**函数

  我们之前一直使用的是Sigmoid函数$\sigma (x)$σ(x)，然而对于一个很深的神经网络，反向传播求梯度的时候使用了链式法则，每次都要对Sigmoid函数求一次导数。然而我们去看Sigmoid函数的导数，为$\sigma (x)(1-\sigma (x))$σ(x)(1−σ(x))，它只有在中间端导数是1，越到两端导数值越小，例如在$x=2$x=2的时候导数已经在0.1左右了，从而反向传播的时候梯度直接衰减了十倍。这样下去层数多的话，前面的层几乎完全无法被训练，不是增加轮数或者使用优化器就可以解决的。因此，我们需要使用其他的**函数，争取保留梯度。

  最简单的保留梯度的方法当然是不使用**函数(或者说**函数就是$y=x$y=x)。但这样我们看下图最终结果$y$y的表达式，如果这里的**函数$\sigma$σ没有了，那其实可以把这些权重矩阵$W$W乘进里面的表达式，最终我们可以得到$y=W'X+b'$y=W′X+b′，也就是说不管是多少层的神经网络，都相当于是一个一层的神经网络了，只能有线性边界，这显然不行。
  那就是说**函数不能是线性函数了吗？并不是这样。我们继续可以发挥类似于积分的思想，光滑的分界线可能就是由很小很小的一些直线构成，也就是说如果采用分段等思想，让神经网络是多个分段共同决策的结果，加上神经元层数和数量都很多，足够模拟比较精细的光滑曲线。因此，Relu函数也应运而生。

  Relu函数显然很好求导(0处就设置成导数是1就好了)，也不会出现梯度消失的情况，要不是梯度直接被传过去，要不就是为0，代表着本次训练这个神经元没有意义。使用这个函数另外一个原因是人大脑神经元的**机制也类似于Relu函数，信号达到一定程度就原样传播，否则就不再传播(如果这个神经元一直不传播，久而久之这个神经元就会退化掉)。另外，如果是分类问题，由于这个函数输出结果不是在0到1之间，无法模拟概率，所以最后一层还是要使用softmax函数或者sigmoid函数，这个是理所当然的。
  至于为什么最后的结果不是线性的，就如同上面所说，对于每个数据(假设数据量足够多)，都有不同的"死"神经元，对于活神经元构成的神经网络，的确都是线性的；由于每次死神经元不一样，最后的结果就是这些不同的线性结果的累加，从而模拟非线性边界，也就是上文所说的以直代曲。
  (当然全连接层目前使用的最多的就是Relu**函数，效果也确实让人满意，所以解释起来也有底气，毕竟解释只能是方法论，没有严格的推导)
  当然后来又发明了很多Relu函数的改进版，比如负数的时候也有一点点斜率，或者这个斜率也是可以学习的，甚至后来不满足于这个二分段函数，而是使用Maxout**函数，采用多分段函数。当然，思想上和Relu全异曲同工，具体内容老师的视频中讲的很详细了，这里也没什么其他可说的了。

三.解决过拟合

1.早期停止——面向第三步优化

  过拟合时，由于训练集效果好，第三步我们挑不出问题来了，一定是到了一个很优的解了，我们不需要再去优化，但是我们可以试图找到一个所谓的不是那么优的解，这个解可能训练集上效果不够好，但是可能在测试集上，就会有更好的结果。下面的这张图经常被用来说明训练轮数与过拟合的情况，可见我们如果在过拟合前就停止，那么就可能得到满意解。具体实现方式可以是，每过一定的轮数就保存一次参数到文件，然后对测试集(交叉验证集)做测试查看结果，然后找到最优的情况，把这些参数作为最后的参数即可。

2.正则化——面向第二步优化

  首先我们假设我们的网络是最经常使用的隐藏层Relu+最后一层Sigmoid的全连接网络，我们考虑一下如果所有的参数都乘以2会有什么结果。显然，由于Relu函数的机制，小于0的还是会小于0从而神经元废掉，而没有废掉的部分随着每层乘2，到达sigmoid函数的函数会乘2的神经网络层数次方。如果本来输入是1，得到的结果大概是0.7，即使是仅仅4层，得到的结果就会到0.999以上，当然这会使得我们的损失值降低很多，但是我们想一想，它和最初始的情况有什么不同之处吗？当然并没有，因为这种改变完全不会改变分类的结果。因此，这种情况就会出现这种过拟合的情况。
  当然，上面的论述说明了这会导致过拟合，但是不能说明过拟合一定是这样造成的；但是我们依然可以避免这种情况，去看看是否可以缓解过拟合现象。那我们就可以在损失函数上开刀，让参数的值直接影响损失值。
  假设未正则化时损失函数是$L(\theta)$L(θ)，正则化后损失函数是$L'(\theta)$L′(θ)，则有$L'(\theta)=L(\theta)+\lambda(||\theta||_k)$L′(θ)=L(θ)+λ(∣∣θ∣∣k​)，称作Lk正则化，一般使用的较多的是L1正则化和L2正则化，$\alpha$α为自己设定的超参数。
  我们可以对比一下L1正则化和L2正则化，其实前者就是加上参数的绝对值和，而后者就是加上平方和。
  对于未正则化的情况，我们有$w^{t+1}=w^t-\alpha\frac{\partial L}{\partial w}$wt+1=wt−α∂w∂L​  L1正则化中，我们有下式，其中$sign$sign函数为符号函数。$w^{t+1}=w^t-\alpha\frac{\partial L}{\partial w}-\alpha \lambda sign(w^t)$wt+1=wt−α∂w∂L​−αλsign(wt)  L2正则化中，我们有$w^{t+1}=(1-\alpha \lambda )w^t-\alpha\frac{\partial L}{\partial w}$wt+1=(1−αλ)wt−α∂w∂L​  即为L1正则化是每次向0额外走一个确定的数值，而L2正则化是每次向0额外走一定的比例。而神经网络中各个参数一般都比较小，因此L1正则化的影响有时会过大不灵活，从而L2正则化的比例衰减用的更多。
  正则化的结果有的时候是有效的，但有的时候没有效果，毕竟不一定是由于这种参数过大导致的过拟合，这时我们就要再使用其他方法。

3.Dropout——面向第一步优化

  如果前面两种方法无法解决问题，那么有可能就是这个网络结构本身的问题了。这时候我们当然可以选择整体换一个神经网络架构，但这是后面要讲的，比如CNN,RNN,GNN架构等等，但是这里我们先不考虑这个问题，我们再回到第二节笔记中所提到的低误差高方差的情况。如果我们把多个低误差高方差(独立同分布)的样本组合起来形成整体，那根据统计学知识，这个方差和整体数量成反比，因此我们可以用这个思想指定策略。
  Dropout就是其中一种方法，被译为“随机失活”。顾名思义，就是每个批次的训练中，都让除最后一层的神经元后有一定的概率随机失活，当然这个概率可以人为设定。这样每次训练时假设有$M$M个神经元，甚至会有$2^M$2M个可能的训练网络来训练。虽然看起来这需要极长时间的训练，但由于这些网络是共享参数的，参数的数量是固定的，因此训练起来并没有增加时间，就可以增加了训练的神经网络的数量。唯一的缺点就在于，这些所谓的神经网络之间并不是独立同分布，这也造成了我们只能一定程度减少方差，还可能会增大变差，无法得到所谓的绝对低方差和低偏差(当然这也是必然，完美是不可能的)。
  Dropout还有一个步骤就是调整训练完的网络的参数。如果失活率为$p\%$p%，那么最后所有的参数都要乘$(100-p)\%$(100−p)%。例如一个单个神经元构成的神经网络：线性累加器，最后的参数都应该是1，然而如果有50%的失活率，那剩下的50%平均来讲要参数是2(当然这个2是数学期望)才能贴近结果，从而说明了这个道理。当然，对于多层复杂神经网络，这个无法证明，笔者查了一些资料，也没有严谨的证明，但总之，这样做的结果是期望值最好的，那就承认这是好方法就行了。(日常炼丹)